Les carrés d’Antoine (I)

Identification

Rallye: 21.II.07 ; catégories: 5, 6 ; domaines: GP, GM, OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• COG - Effectuer une construction géométrique
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions

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Résumé

Former le périmètre du plus grand carré possible en juxtaposant 15 segments rectilignes, 6 de longueur 1 et 9 de longueur 3.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Comprendre le mode de construction des carrés, avec les segments (bâtons) proposés.

Déterminer la longueur totale des segments (33 en mesure de la longueur d'un petit bâton ) et ses liens avec le périmètre maximal du carré, qui doit être un multiple de 4.

Prendre en compte les contraintes de la situation le nombre des bâtons et leurs longueurs, qui empêchent de construire un carré e côté 8 (sans en couper, ce qui n'est pas interdit par l'énoncé mais implicite pour les auteurs de l'énoncé) mais permet d'en construire un de côté 7.

Savoirs mobilisés, addition élémentaire, additivité des longueurs de segments, égalité des longueurs des quatre côtés d'un carré

Notions mathématiques

mesure, côté, périmètre, carré, segment, unité de longueur, maximum, addition

Résultats

21.II.07

Points attribués sur 1244 classes de 17 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Dessin d’un carré de côté 7 avec l’indication des bâtons et la justification claire qu’il est le plus grand possible (citer explicitement l’impossibilité de construire un carré de côté 8)
• 3 points: Dessin d’un carré de côté 7 avec l’indication des bâtons, mais sans expliquer pourquoi il est le plus grand possible
• 2 points: Dessin d’un carré de côté 7 sans indication claire des bâtons utilisés
• 1 point: Dessin d’un carré de côté 6 (qui n’est pas le plus grand)
  ou dessin d’un carré de côté 8 qui ne respecte pas toutes les contraintes
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Selon les critères ci-dessus, il n’y a que la moitié de réponses correctes (carré de côté 7) dont seulement le quart 13% sont bien justifiées.

En attente d'analyses a posteriori de copies d'élèves, on ne peut pas déterminer précisément les obstacles et erreurs.

Exploitations didactiques

Une autre version du problème a été proposée aux catégories 7 et 8, avec 24 bâtons (10 sont gris et 14 sont blancs) Les carrés d'Antoine (II)

La tâche était un peu plus complexe mais, malgré une différence de deux ans pour l'âge des élèves, une très petite minorité (environ 15%) a trouvé les deux rectangles demandés de 20 bâtons de côté.

Le problème, dans l'une ou l'autre de ses versions, est donc difficile, probablement en raison de sa tâche inhabituelle et déroutante ou des conditions implicites de son énoncé.

Il nécessite une mise en commun des premiers résultats, après 5 à 10 minutes de recherche autonome, pour dissiper les malentendus et permettre aux élèves de s'approprier la tâche en tenant compte des contraintes de la mise bout à bout de segments qu'on ne peut ni couper ni laisser dépasser.