Les deux cercles

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Rallye: 22.II.18 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GP
Famille:

• GDE - Organiser une suite de relations en géométrie déductive

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Résumé

Calculer la distance entre deux cercles concentriques dont seule la différence de leurs longueurs est donnée.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- En notant par exemple r et R les rayons des deux cercles, on peut exprimer la relation entre le deux longueur des deux cercles sous la forme 2πR = 2πr + 10.

- Comprendre qu’à partir de l’expression précédente, on doit calculer la différence entre R et r : 2 π R – 2 π r = 10 ; et en déduire 2 π (R – r) = 10, donc (R – r) = 5/π, et calculer 5/π, environ 1,6 (en cm). Se rendre compte que cette procédure est générale et vaut quel que soient les rayons des cercles en jeu.

Ou bien, procéder avec quelques exemples à partir de valeurs attribuées à la longueur du cercle de Luc, dont on déduit la longueur du cercle de Matteo qui mesure 10 cm de plus. Calculer ensuite les rayons de l'un et de l'autre cercle, puis la différence entre les rayons :

par exemple, supposons que la longueur du cercle de Luc est C = 100 cm, celle du cercle de Matteo est alors C’ = 110 cm, d’où r = 100/2π (environ 15,9 cm) et R = 110/2π (environ 17,5 cm). Obtenir ainsi la distance entre les deux cercles en considérant les valeurs 17,5 et 15,9 des deux rayons, ce qui donne 1,6 cm.

Un autre exemple pourrait être de considérer ensuite C = 200, C’ = 210, d’où r = 200/2π (environ 31,8) et R = 210/2π (environ 33,4), pour arriver à obtenir encore la même distance entre les deux cercles.

Si on s’arrête à un seul exemple, on ne se rend pas compte que la procédure est générale et que la réponse, « apparemment » correcte, est en quelque sorte « abusive ».

Avec plus d'un exemple, on peut se douter que quels que soient les rayons des cercles en jeu, dans les conditions de l'énoncé, leur distance est toujours la même.

Notions mathématiques

cercle, rayon, circonférence, rapport, équation, constante

Résultats

22.II.18

Points attribués sur 258 copies de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (1,6 cm) avec justification de cette valeur dans le cas général
• 3 points: Réponse correcte avec justification basée sur plus d'un exemple
• 2 points: Réponse correcte avec justification basée sur un seul exemple

    * ou bien réponse erronée due à une erreur de calcul
1 point:  Réponse correcte sans explication
0 point:  Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les tableaux ci-dessus mettent en évidence la progression des « 4 points » de la catégorie 9 à la catégorie 10, qui témoigne d’une justification correcte.

Les « 3 points » qui attestent d’une explication basée sur plus d’un exemple sont peu nombreux ; alors qu’il semble qu’il y a un peu plus de copies qui ne font état que d’un seul exemple.

Una partie importante de copies blanches révèle les difficultés à affronter un problème où il y a un « manque » apparent de données. en effet, ceci se révèle être l’obstacle majeur à la résolution du problème.

Exploitations didactiques

Le défi de ce problème n’est pas tant celui qui concerne l’usage correct de la relation entre les rayons et longueurs des circonférences pour aboutir à la distance entre les deux mais plutôt celui de la capacité de développer un raisonnement générique. En effet, lorsqu’on se limite à un exemple (et parfois à plusieurs), on ne se rend pas compte que la procédure n’est pas générale et qu’une réponses qui apparaît correcte localement est, en quelque sorte « abusive ».

Un usage opportun de ce problème en classe, avec une mise en commun des procédures, mais aussi des « abandons », est une belle occasion d’apprentissage : si le recours à des exemples peut faire entrevoir une solution, il ne la justifie cependant pas, il est alors nécessaire d’apprendre à généraliser une procédure.

Il serait intéressant à ce propos de traiter des problèmes qui donnent une certaine réponse pour plusieurs valeurs numériques et, à partir d’un certain point, contredisent la réponse précédente.