Le due circonferenze

Identificazione

Rally: 22.II.18 ; categorie: 9, 10 ; ambito: GP
Famiglia:

• GDE - Organizzare una successione di relazioni in geometria deduttiva

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Sunto

Calcolare la distanza tra due circonferenze concentriche, delle quali non sono date le misure, sapendo che la differenza tra le loro lunghezze è 10 cm.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

(Analisi a priori del compito)

Indicando, ad esempio, con r ed R i raggi delle due circonferenze, esprimere la relazione tra le loro lunghezze:

2πrR = 2πr + 10

- Capire che a partire dalla relazione precedente è possibile determinare la differenza tra R e r: 2πR – 2πr =10 ; 2(R –r) π =10 , da cui (R – r) = 5/π , cioè circa 1,6 (in cm). Rendersi conto che tale numero non dipende dai raggi delle due circonferenze in gioco.

Oppure, procedere con qualche esempio, a partire da qualche valore attribuito alla lunghezza della circonferenza di Luca, per avere la circonferenza di Matteo che misura 10 cm di più. Calcolare poi il raggio dell’una e dell’altra e poi la differenza fra i raggi:

Ad esempio, se si pone C (circonferenza di Luca) = 100 cm, C’ (circonferenza di Matteo) = 110 cm, da cui r = 50/π (circa 15,9) e R = 55/π (circa 17,5). Ottenere quindi la distanza tra le due circonferenze che, se si considerano i valori 17,5 e 15, 9 dei due raggi, sarà 1,6 cm.

- Un passo ulteriore potrebbe essere quello di considerare poi, ad esempio, C = 200, C’ = 210, da cui i raggi r = 100/π (circa 31,8) e R = 105/π (circa 33,4), per arrivare ad ottenere ancora la stessa distanza.

Se ci si ferma ad un solo esempio non ci si rende conto che la risposta, “apparentemente” corretta, non mostra l’indipendenza del risultato dai due raggi.

- Con più di un esempio potrebbe sorgere il dubbio che qualunque siano i raggi delle circonferenze in gioco la distanza sia sempre la medesima.

Nozioni matematiche

cerchio, raggio, circonferenza, rapporto, equazione, costante

Risultati

22.II.18

Punteggi attribuiti su 258 elaborati di 8 sezioni :

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (1,6 cm) con giustificazione della sua valenza in generale
• 3 punti: Risposta corretta con giustificazione basata su più di un esempio
• 2 punti: Risposta corretta con giustificazione basata su un solo esempio

    * oppure risposta errata dovuta ad un errore di calcolo
1 punto:  Risposta corretta senza alcuna spiegazione 
0 punto:  Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Le tabelle con i punteggi evidenziano con una certa chiarezza la progressione importante del punteggio “4” che indica la correttezza di una giustificazione della valenza generale del risultato, nel passare dalla categoria 9 alla categoria 10.

I punteggi “3” relativi alla ricerca della soluzione con il ricorso a più di un esempio, sono pochi. Mentre sono un po’ più numerosi gli elaborati che evidenziano una risoluzione tramite un solo esempio.

Una parte abbastanza consistente degli elaborati è stata consegnata in bianco. Sintomo di una difficoltà ad approcciare un problema laddove ci sia una “carenza” apparente di dati. In effetti, questo si è rivelato essere l’ostacolo maggiore del problema.

Indicazioni didattiche

La sfida di questo problema, non è tanto quella che riguarda l’uso corretto della relazione lunghezza della circonferenza e raggio per arrivare alla distanza fra le due circonferenze, bensì nella capacità di svolgere un ragionamento generale. Infatti, laddove ci si fermi ad un solo esempio (ma anche a diversi esempi) non ci si rende conto che la procedura non è generale e che la risposta, “apparentemente” corretta, è in qualche modo “abusiva”. Un uso opportuno di questo problema in classe con una messa in comune delle procedure, ma anche delle “rinunce” a procedere, rappresenta una bella opportunità di apprendimento: il ricorso a degli esempi, se da un lato può far intravedere una soluzione, dall’altro non la giustifica e diventa necessario imparare a generalizzare una procedura. Sarebbe interessante introdurre anche dei problemi che con un certo numero di valori numerici danno una certa soluzione, ma poi, ad un certo punto, la soluzione non è più la stessa.