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Banca di problemi del RMTgp9-it |
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A partire da dieci punti su una griglia quadrettata, ricerca di gruppi di quattro punti che formano dei quadrilateri aventi le proprietà caratteristiche del rettangolo.
Mobilizzare le competenze sul rettangolo: lati paralleli congruenti e lati perpendicolari, oppure diagonali della stessa lunghezza e che si tagliano nel loro punto medio.
Cercare coppie di segmenti paralleli e congruenti e verificare per ciascuna di tali coppie se esistono delle coppie di segmenti congruenti perpendicolari.
Organizzare un inventario sistematico, controllando in modo “visivo” il parallelismo e la congruenza nel fare riferimento alla quadrettatura.
proprietà del rettangolo
Punteggi attribuiti su 1471 classi di 18 sezioni
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 5 | 125 (23%) | 142 (26%) | 147 (27%) | 65 (12%) | 65 (12%) | 544 | 1.64 |
Cat 6 | 157 (18%) | 218 (25%) | 306 (35%) | 61 (7%) | 131 (15%) | 873 | 1.76 |
Cat 7 | 85 (12%) | 135 (19%) | 219 (31%) | 64 (9%) | 205 (29%) | 708 | 2.24 |
Totale | 367 (17%) | 495 (23%) | 672 (32%) | 190 (9%) | 401 (19%) | 2125 | 1.89 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
* oppure: disegno dell’unico rettangolo possibile, CHGE, con spiegazione del perché si è sicuri che si tratti di un rettangolo, ma senza dichiarazione che dica che non è possibile disegnarne altri
Le procedure di ricerca delle coppie di segmenti paralleli e congruenti sono dapprima di tipo “visivo”, poi analitiche per esempio tramite un controllo con il ricorso a strumenti. Si trova così che non ci sono coppie di segmenti paralleli alle righe della griglia e che ci sono solo 4 coppie da prendere in considerazione: BD e JF, BJ e DF, CE e HC, CH e EG.
Si arriva così a due parallelogrammi BJFD e CHGE (due coppie di lati paralleli congruenti).
Per controllare l’angolo retto si può utilizzare la squadretta o il goniometro, o ricorrere ad un’analisi fine delle posizioni dei lati in rapporto alle righe della griglia. Per esempio, per BJFD, si può osservare che i lati BJ e DF seguono nodi della quadrettatura, cosa che non succede per i lati BD e JF. E così si ottiene un solo rettangolo CHGE.
La tabella dei risultati mostra che solo un quarto (punteggio 3 e 4) degli allievi di categoria 5 e 6 danno CHGE come unico rettangolo, e che la metà (punteggi 1 e 2) dicono che i due parallelogrammi sono rettangoli o trovano un altro rettangolo ancora.
Ci sono dunque seri ostacoli a proposito del riconoscimento di rettangoli o della distinzione tra parallelogrammi rettangoli e parallelogrammi non rettangoli.
Questo problema si presta bene ad una messa in comune e ad un dibattito relativo alle soluzioni prospettate dagli allievi, probabilmente diverse; tale dibattito farà sorgere la necessità di superare l’impressione visiva per andare verso le proprietà del rettangolo, con l’uso degli strumenti tradizionali e della quadrettatura. Questa attività non andrebbe svolta a partire dall’ingiunzione del genere “prendete la squadretta”, dove l’iniziativa del collegare lo strumento alla figura viene dall’esterno, ma a partire da un’idea concepita in seno al gruppo di allievi.
Ma si può anche andare più lontano, verso una giustificazione tramite le “componenti” orizzontale e verticale dei segmenti considerati come diagonali di rettangoli. Si tratta di una “iniziazione” naturale al concetto di vettore e delle sue componenti.
Il problema I dieci punti fa parte di una serie di problemi “isomorfi”, basati sulla conservazione di lunghezze e sul ruolo essenziale dell’angolo retto.
L’articolo “rettangolo...non così evidente”, pubblicato sul n. 1 de La Gazzetta di Transalpino (sul sito www.armtint.org) tratta l’argomento con una certa ampiezza.
Crociani C., Doretti L., Grugnetti L. : 2012 ‘Difficoltà nel confronto di lunghezze/Difficultés dans la comparaison de longueurs’, in La Gazzetta di Transalpino/La Gazette de Transalpie, n. 2, 71-98, http://www.armtint.org/fr/le-gazzette-di-transalpino/numero-2/viewcategory/11-gazzetta-n-2-articoli-gazette-n-2-articles
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