La terrasse de Joseph

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Rallye: 22.I.16 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: GP
Famille:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires

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Résumé

Un carré de 10 m de côté est partagé en neuf parties par quatre segments joignant l’un des quatre sommets à l’un des quatre milieux d’un côté opposé. Déterminer l’aire des parties de chaque couleur, après en avoir perçu la forme.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Observer le dessin, constater que la figure se décompose en neuf parties et se rendre compte qu’il faut déterminer la forme de chacune des parties avant d’entrer dans la phase du calcul des aires.

Cette détermination peut se faire visuellement mais doit être confirmée par un dessin précis (avec des instruments de dessin géométrique ou sur un papier quadrillé) ou faire l’objet d’une argumentation, déduite des propriétés du carré et de ses côtés partagés en deux parties égales par les points milieux.

Reconnaître que les neuf parties sont un carré central, quatre trapèzes rectangles égaux et quatre triangles rectangles égaux. On peut distinguer aussi quatre « grands » triangles ( composés d’un trapèze et de deux « petits » triangles, figure 2), quatre triangles « moyens » (composés d’un trapèze et d’un « petit » triangle, figure 3) puis observer par exemple que les« grands » triangles sont des quarts du grand carré, (mesure des côtés de l’angle droit 5 et 10 cm, aire 25 cm2, hypoténuse √125 ou 5√5 cm) ou que tous les triangles de la figure sont semblables (mêmes angles, et rapport 2 entre les mesures des côtés de l’angle droit) …

Engager finalement le calcul des aires, pour lequel il y a de très nombreuses procédures possibles :

-par mesure des longueurs et calcul des aires sur un dessin précis à l’échelle, par exemple sur un carré de 10 cm de côté ;

- par « quadrillage » (figure 4) (construction précise sur papier quadrillé d’un carré de 10 unités de côté et comptage des carrés ; par « pavage » du carré en petits triangles ;

- par décomposition et recomposition, par voie algébrique ; …

Les savoirs mobilisés, selon les procédures utilisées recouvrent l'ensemble des programmes de géométrie du Collège (école secondaire I): polygones et le calcul de leurs aires, isométries, similitudes, relations métriques (Pythagore, Thalès), puissances et racines carrées, éléments d'algèbre.

Notions mathématiques

géométrie, carré, trapèze, triangle, quadrilatère, aire, homothétie, isométrie, rotation, symétrie centrale, côté, sommet, points milieux, pavage, similitude, hypoténuse, Pythagore, algèbre, équation, croquis, proportionnalité, Thalès

Résultats

22.I.16

Points attribués, sur 1245 copies de 21 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte complète (grises : 60 m2 et blanches : 40 m2) avec explications complètes des opérations effectuées et de la manière dont ont été reconnues les figures (construction précise, carré, triangles et trapèzes nommés, ou autre mention explicite de la réflexion sur les formes…)
• 3 points: Réponse correcte complète (60 m2 et 40 m2) avec détail de la recherche des aires (par pavage, décomposition, algèbre, mesure sur le dessin, quadrillage … ) mais sans aucune mention de la réflexion sur les figures
• 2 points: Réponse correcte complète (60 m2 et 40 m2) sans explication
  ou réponse proche de 60 m2 et 40 m2, où les calculs d’aires sont effectués à partir de mesures approximatives sur un dessin
• 1 point: Début de raisonnement correct par exemple calcul de l'aire de l’une des parties seulement (20 m2 pour le carré, 5 m2 pour un petit triangle) avec explications
  ou seulement un dessin précis
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Quelques observations provisoires, tirées des premières copies examinées :

• La moitié des copies environ montrent une incapacité à entrer dans une résolution « réfléchie » : les aires grises et blanches sont déclarées égales ; la somme des deux aires est loin de correspondre à celle du carré d’origine (100) ; des calculs apparaissent sans lien avec les mesures prises ; des « gribouillages » font état de découpages et reports incohérents ; les formes des neuf figures ne sont pas reconnues ; …
• Les « débuts de raisonnement correct » (attribution de « 1 point ») témoignent d’une « entrée » dans le problème, avec reconnaissance du carré central, calculs d’aires de triangles dont un des côtés mesure 5 cm, …
• Parmi les procédures faisant preuve d’une compréhension du problème, une majorité repose sur un dessin précis du partage du carré (en général de 10 cm de côté) et les mesures de ses différents segments. Elles peuvent conduire à des réponses éloignées de la solution « 40 et 60 » à la suite d’erreurs de calcul, ou à des réponses proches de la solution dues aux mesures approximatives (par exemple 38,72 et 58,96 lorsque la mesure du carré central est considérée comme 4,4) sans contrôle de la somme qui devrait être 100 ou encore à une première aire calculée à partir de mesures approximatives et la seconde calculée comme complément à 100. L’obstacle est, dans ce cas, dû à une croyance que la mesure prise sur la règle est la mesure réelle ou à la non élaboration du concept d’approximation.
• Les procédures par pavages, découpages, compensations reposent sur l’observation que le carré central équivaut à quatre triangles et qu’un trapèze équivaut à trois triangles, ce qui conduit à répartir le carré d’origine en cinq carrés : deux blancs et trois gris. Ces procédures ne sont cependant pas accompagnées de justifications ou de démonstrations ; les pavages ou découpages sont évidents et reposent sur une appréciation visuelle.
• On relève aussi de fréquents calculs de la longueur d’un des quatre segments par Pythagore, qui conduit à l’approximation « 11,8 » ,mais on ne voit pas apparaître l’écriture 5√5 ou √125 dans les calculs qui suivent. Il s’agit ici de l’obstacle des écritures de nombres irrationnels.

Exploitations didactiques

La terrasse de Joseph est un problème « consistant » pour la construction des connaissances géométriques, mais évidemment, au vu des résultats obtenus, « assez difficile » pour des élèves de 13 à 16 ans dans les conditions de passation des épreuves du RMT.

La variété des procédures de résolution observées assure l’intérêt de leur confrontation entre élèves, puis de leur institutionnalisation par le maître.

On peut en particulier profiter de comparer les procédures reposant sur les mesures prises sur un dessin, forcément approximatives même si la construction est très précise, aux procédures par pavage ou décomposition ou encore aux procédures algébriques.

On peut aussi aborder, selon l’âge des élèves, le problème des justifications par raisonnement déductif.