Triangoli volati via

Identificazione

Rally: 22.II.05 ; categorie: 3, 4, 5, 6 ; ambito: GP

Remarque et suggestion

Sunto

Decomporre un triangolo rettangolo isoscele in triangoli ad esso simili e uguali tra loro secondo il rapporto 1/3, e determinarne il numero

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Percepire le caratteristiche dei triangoli a partire dalle figure e dal testo dell’enunciato: sono tutti triangoli rettangoli isosceli e le misure dei lati dei triangoli grandi sono il triplo di quelle dei lati dei triangoli piccoli.

- Rendersi conto che il compito consiste nel scomporre il triangolo grande in triangoli piccoli e trovare quindi quanti triangoli piccoli si possono ritagliare da uno grande, al fine di determinare il numero di quelli che sono volati via.

- Si può procedere in molti modi. Si può, per esempio, ritagliare dei triangoli piccoli, con il ricalco o il disegno, per cominciare a ricoprire il triangolo grande e scoprire che contiene 9 triangoli piccoli; oppure si può disegnare una griglia triangolare sul triangolo grande e contare le unità.

Il disegno o il ricalco richiedono una grande precisione, il rispetto degli angoli retti e del parallelismo da un triangolo all’altro, la percezione delle rotazioni e delle traslazioni necessarie. Il disegno di una griglia richiede una percezione d’insieme della pavimentazione.

Nozioni matematiche

triangolo, triangolo rettangolo, triangolo isoscele, equivalenza, scomposizione, similitudine, rapporto

Risultati

22.II.05

Punteggi attribuiti su 2539 classe di 21 sezione

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta : « 5 triangoli volati via » e un disegno preciso della ripartizione
• 3 punti: Risposta corretta e disegno della ripartizione non ben preciso
  oppure risposta « 9 triangoli » con disegno preciso
• 2 punti: Risposta « 5 triangoli volati via » senza disegno
• 1 punto: Risposta « 9 triangoli » senza disegno
• 0 punto: Altre risposte senza disegno
  oppure incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

sui 145 elaborati della sezione della SR:

- Circa l’80% degli elaborati mostrano i triangoli piccoli, su un semi quadrato, o su un quadrato intero. Talvolta (in circa il 10% degli elaborati) si tratta di un collage di triangoli piccoli ritagliati oppure del riporto del contorno di un triangolo ritagliato poi spostato in posizioni successive.

Nella maggior parte dei casi, ci si rende conto che le figure sono state disegnate con il righello, dopo aver effettuato le misure o i riporti necessari al fine di assicurare la congruenza dei triangoli piccoli. Si rileva una progressione, dalla categoria 3 alla categoria 6, nella precisione dei disegni e nel rispetto delle direzioni (parallelismo e perpendicolarità).

- Le figure ottenute con il disegno evidenziano due procedure:

la prima tramite una “griglia triangolare” (nel %15 degli elaborati), del tipo della figure 1.

la seconda, che è la più frequente, tramite “giustapposizioni successive” (nel 35% degli elaborati) che porta alle pavimentazioni come nelle figure 2 e 3. In questo caso si constata talvolta un “riporto” progressivo delle imprecisioni che possono condurre a scomposizioni errate.

- Per accedere alla soluzione corretta, bisogna evidentemente osservare la corrispondenza tra i lati dei triangoli piccoli con i lati di quello grande: i cateti devono coincidere o essere tra loro paralleli, le ipotenuse devono coincidere o essere parallele tra loro.

- Se gli allievi non rilevano questa corrispondenza e sistemano delle ipotenuse dei triangoli piccoli sui cateti del grande, riescono poi a sistemare solo 8 triangoli piccoli sul grande. Questo errore appare nel 14% degli elaborati (figure 4).

L’errore non è molto visibile: l’ipotenusa di un triangolo piccolo misura √2 = 1,414… vicino a un semi lato del quadrato che misura 1,5.

- Sui 145 elaborati esaminati, non si rileva alcuna traccia esplicita di riflessione sull’area dei triangoli, né sul rapporto 3, o sulla relazione moltiplicativa 3 x 3 = 9.

Indicazioni didattiche

Il problema è potenzialmente interessante per il confronto tra le figure di una pavimentazione di 9 triangoli e di 8 triangoli. Il disegno, o anche il ritaglio, non permettono di decidere quale delle due pavimentazioni vada scelta.

E’ indispensabile un dibattito per convincersi che si è in presenza di triangoli di grandezze diverse che occupano lo stesso spazio (con 8 triangoli o con 9 triangoli, evidentemente più piccoli), poi per constatare che sono tre cateti dei piccoli che corrispondono ad un cateto del grande. (A seconda dell’età degli allievi, è anche possibile far intervenire le aree e le diagonali quando si osservano le figure dove appaiono dei quadratini (9 e 8) nel quadrato grande. Le aree dei quadrati piccoli saranno allora rispettivamente 1 e 1,125, i lati 1 e ≈1,12 con 4 quadrati piccoli è possibile formare un altro quadrato di area 2, di lato ≈1,4 o un quadrato di area 4,5 di lato ≈ 2,1, etc)

L’uso di tale problema in classe può allora estendersi a riflessioni sulla precisione delle misure.

Un’altra conoscenza da introdurre è il legame tra il rapporto dei lati 3 o 1/3 e il rapporto delle aree 9 o 1/9.

Sono anche possibili altri usi didattici relativi alle diverse pavimentazioni e la griglia triangolare come quella della figura 1.

Per andare più lontano

Si veda versione francese Triangles envolés

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