La torta di Nonna Lucia

Identificazione

Rally: 22.II.06 ; categorie: 4, 5, 6 ; ambiti: GM, GP
Famiglie:

• CA - Confrontare aree
• CA/D - Confrontare aree con il ritaglio
• DEC - Ritagliare e/o assemblare figure
• DEM - Fare una dimostrazione
• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree

Remarque et suggestion

Sunto

Mostrare che un rettangolo viene diviso dalle sue diagonali in quattro parti equivalenti

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Assicurarsi (eventualmente) che le fette delle due nipotine sono uguali fra loro, così come quelle dei due nipoti (per sovrapposizione, visiva o manipolativa, o per simmetria assiale o centrale, a seconda dei livelli).

- Confrontare poi una fetta di una femmina con una fetta di un maschio, trovando una comune unità d’area.

- Senza ricorrere al calcolo delle aree, immaginare e/o disegnare una trama sulla figura tracciando le mediane del rettangolo, cosa che permette di vedere una “pavimentazione” della figura in 8 triangoli rettangoli, constatare che sono uguali e dedurre l’uguaglianza delle parti formate ciascuna da due di tali triangoli.

- Tramite misure prese sul disegno, fare riferimento alla formula dell’area di un triangolo e applicarla in modo opportuno.

L’utilizzazione della formula fa intervenire l’altezza del triangolo che qui non è tracciata (mentre in generale nei libri di testo lo è). Questo segmento divide una parte triangolare in due triangoli rettangoli (della pavimentazione precedente). Nell’osservare le relazioni (metà e doppio) tra i cateti di questi triangoli rettangoli, i lati del rettangolo (torta), le “basi” e “altezze” delle parti, si deduce che le misure necessarie al calcolo delle aree da confrontare sono le stesse. Senza questa constatazione, l’imprecisione delle misure può condurre ad aree differenti.

Prima di passare alle misure, bisogna convincersi del fatto che, se il perimetro si calcola con un’addizione delle misure dei lati, il calcolo dell’area richiede una moltiplicazione delle misure.

Bisogna anche rendersi conto che una semplice compensazione qualitativa (più lungo ma meno largo) non è sufficiente ad essere sicuri dell’equivalenza delle parti.

Nozioni matematiche

rettangolo, diagonale, triangolo, equivalenza, suddivisione, area, perimetro, misura,

Risultati

22.II.06

punteggi attribuiti su 2125 elaborati di 21 sezione:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (Sara e Maria hanno ragione) con giustificazione chiara (ritaglio/piegatura o disegno di una trama e spiegazioni, o anche calcoli utilizzando la formula dell’area del triangolo)
• 3 punti: Risposta corretta con ritaglio o disegno della trama, ma spiegazioni incomplete
• 2 punti: Risposta corretta con ritaglio o disegno della trama, ma senza spiegazioni né calcoli
• 1 punto: Ritaglio o disegno della trama, ma senza risposta

    *  oppure solo l’affermazione che le parti di Sara e Maria sono uguali tra loro, così come le parti di Luca e Carlo senza spiegazione
0 punto:  Incomprensione del problema o risposta basata su considerazioni sul perimetro delle parti, avendo le parti delle femmine perimetro maggiore di quelle dei maschi

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

(Su 124 elaborati della sezione SR)

- Qualche raro elaborato fa rifermento esplicitamente all’uguaglianza delle parti delle due femmine, cos’ come quelle dei due maschi (per sovrapposizione, visiva o manipolativa, o per simmetria assiale o centrale, a seconda delle categorie . Nella gran parte dei casi, questa uguaglianza sembra essere ammessa implicitamente, mentre è quella tra le parti di una femmina e di un maschio al centro delle riflessioni.

- 38 elaborati su 124 (31%) mostrano le due mediane dei lati del rettangolo che lo “dividono” in otto triangoli rettangoli, cosa che permette un confronto diretto.

Esempio: Spiegazioni: Come potete vedere ho tagliati i pezzi in due (sono disegnate le due mediane) e questo fa dei triangoli rettangoli e ogni pezzo ha gli stessi triangoli rettangoli solo che non sono messi nello stesso modo allora ogni bambino ha la stessa quantità di torta.

- 6 (5%) spiegazioni arrivano all’equiestensione per “compensazione” qualitativa.

Esempio:… Quelle di Maria e Sara sono più larghe e quelle di Luca e Carlo sono più lunghe dunque hanno la stessa parte. Sono Sara e Maria ad aver ragione.

- 33 (27%) elaborati contemplano le misure dei lati delle parti e il calcolo del perimetro, e concludono che la parte delle femmine è quella più grande.

- 15 elaborati (12%), in gran parte di categoria 6, presentano prodotti di misure e 12 di questi si rifanno chiaramente alla formula dell’area del triangolo (sono misurate una base e l’altezza relativa). La conclusione dipende alla precisione delle misure e, evidentemente, dalla formula applicata.

- Si trova ancora qualche procedura per ritaglio, o per tentativi di piegatura e ricoprimento o ancora ricerca di altre unità, che in generale non portano all’equivalenza delle parti: 11 (9%) elaborati.

- Infine, ci sono 21 (17 %) elaborati in bianco o non resi.

Indicazioni didattiche

Su un tema così basilare come la determinazione dell’area di un triangolo, il problema La torta di Nonna Lucia offre molteplici possibilità di lavoro in classe:

- il confronto fra una procedura per pavimentazione o la ricerca di unità d’area “non convenzionale” e la procedura con il calcolo di un prodotto di misure,

- la relazione fra l’area di un rettangolo e quella di due triangoli rettangoli che lo compongono,

- il trovarsi di fronte al conflitto area-perimetro,

- l’imprecisione delle misure di lunghezza prese con il righello e i suoi effetti sul calcolo delle aree,

- l’approccio al ragionamento deduttivo a proposito della suddivisione di un rettangolo secondo le diagonali e le mediane, delle misure di lunghezza e delle aree degli otto triangoli rettangoli.

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