Partage équitable

Identification

Rallye: 22.II.13 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: GP
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/D - Comparer des aires par découpage
• DEC - Découper et/ou assembler des figures

Remarque et suggestion

Résumé

Partager un trapèze isocèle en deux parties de même aire par un segment de droite joignant un point donné sur la petite base à un point à déterminer sur un autre côté du pourtour.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Extrait de l’analyse a priori de la tâche

- Comprendre que pour un partage équitable, il faut que les parcelles de Luc et de Catherine aient la même aire.

- Remarquer que P est sur la petite base du trapèze mais qu’il n’est pas en son milieu.

- Comprendre qu'il faut donc tracer un segment [PQ] qui n’est pas perpendiculaire aux bases, car les deux parties obtenues n'auraient pas la même aire.

- En notant A, B, C, D les sommets du trapèze, M le milieu de [AD] et N le milieu de [BC], remarquer que (MN) est la médiatrice commune aux deux bases du trapèze, le partageant en deux trapèzes symétriques, ABNM et MNCD.

- Avec un compas ou par une mesure de longueur précise, reporter la longueur PM pour positionner le point Q sur [BC] tel que NQ = PM, les triangles rectangles PMO et QNO ainsi formés ont alors la même aire. En déduire que les parties ABQP et PQCD sont aussi d’aires égales.

Remarquer que [PM] et [NQ] sont parallèles et de même longueur, en déduire que PNQM est un parallélogramme. Le point Q sur [BC] est donc sur la parallèle à (PN) issue de M.

Ou bien, les perpendiculaires aux deux bases [AD] et [BC] issues de A et D déterminent deux triangles ABE et DFC de même aire, car symétriques par rapport à la médiatrice (MN). Comprendre qu’il reste à partager le rectangle AEFD en deux parties de même aire par le segment [PQ].

- Reporter la longueur AP pour positionner le point Q sur [BC] tel que QF = AP. En déduire que les deux trapèzes rectangles AEQP et FDPQ ont la même aire, car étant de même hauteur, ils ont leurs bases de mêmes longueurs. Conclure que les parties ABQP et PQCD ont la même aire car elles sont composées de parties d’aires égales.

Notions mathématiques

trapèze rectangle, aire, équivalence, segment, partage, médiatrice, hauteur, base, parallélogramme

Résultats

22.II.13

Points attribués sur 1628 copies de 20 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Le point Q bien placé, par report de longueurs ou géométriquement ou avec des mesures, avec une explication claire de sa construction et du fait que les aires des parcelles obtenues sont bien égales
• 3 points: Le point Q bien placé avec la présentation de sa construction, sans justification de l’égalité des aires
• 2 points: Le point Q apparemment bien placé sans explication
• 1 point: Début de recherche utilisant une symétrie ou avec la remarque de l’égalité des aires des triangles rectangles ABE et DFC, mais sans le partage du rectangle
• 0 point: Incompréhension du problème

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