Banque de problèmes du RMT
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Dénombrer les dispositions ordonnées (arrangements) de trois objets pris deux à deux et les faire correspondre aux jours de la semaine, dans un contexte de trois bagues de couleurs différentes, une sur chaque main.
- Comprendre que les différentes façons de porter les bagues dépendent soit de leur couleur soit de la main qui les porte.
- Se rappeler qu’à chaque choix de deux couleurs différentes pour les bagues correspondent deux façons différentes de les porter.
- Établir une stratégie qui permette de trouver systématiquement les dispositions pour ne pas perdre de solutions. Par exemple :
- Conclure que Line sera forcée de répéter une des combinaisons le dimanche.
nombres naturels, combinatoire, arrangement, combinaison, multiplication, dénombrement
Points attribués, sur 2225 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 4 | 108 (18%) | 136 (23%) | 41 (7%) | 33 (5%) | 283 (47%) | 601 | 2.41 |
| Cat 5 | 60 (10%) | 104 (18%) | 47 (8%) | 28 (5%) | 335 (58%) | 574 | 2.83 |
| Cat 6 | 108 (10%) | 186 (18%) | 95 (9%) | 48 (5%) | 613 (58%) | 1050 | 2.83 |
| Total | 276 (12%) | 426 (19%) | 183 (8%) | 109 (5%) | 1231 (55%) | 2225 | 2.72 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Pour trouver les dispositions possibles (arrangements), la majorité des groupes ont utilisé des traits de couleurs disposés sur deux colonnes correspondant aux deux mains. On observe aussi des variantes de cette procédure en tableaux ou en listes. Il y a très peu d’erreurs dans l’inventaire constitué seulement de six couples.
La réponse « dimanche » est donnée dans deux tiers des copies. Certaines fois, après avoir fait l’inventaire correct des six arrangements, les élèves répondent « samedi » comme sixième jour, à partir duquel il n’y aura plus de nouveau choix.
L’erreur la plus fréquente est de considérer seulement trois combinaisons des trois bagues prises deux à deux, sans tenir compte des deux mains. La réponse est alors « jeudi » ou « mercredi » comme jour où toutes les combinaisons ont été trouvées.
La combinatoire ne figurant pas dans les programmes de ces degrés, on ne peut pas exploiter le problème en classe pour introduire les concepts de combinaisons ou d’arrangements.
On peut cependant s’intéresser aux procédures permettant de dresser un inventaire complet des arrangements en étant certain de ne pas en oublier et de ne pas avoir de doublons : listes organisées, dispositions en tableaux, choix systématiques désignés par des signes graphiques, … Il faut alors augmenter le nombre d’objets pour qu’une organisation soit vraiment nécessaire. (Elle ne l’est pas avec les trois bagues du problème car on voit immédiatement qu’il n’y a pas d’autres choix que les six trouvés dans l’ordre ou dans le désordre).
Le passage à des plus grand nombre permet aussi de découvrir que la situation est de nature multiplicative : le premier objet choisi parmi tous ceux à disposition est mis en relation avec un deuxième objet choisi parmi ceux qui restent après avoir pris le premier, … (3 × 2 dans le cas de cette version du problème Les bagues).
Si on avait le choix de 5 bagues sur deux mains on aurait 5 × 4 arrangements. Si on mettait 5 bagues sur trois doigts, on arriverait à 5 × 4 × 3 arrangements, etc.
(c) ARMT, 2015-2024