Pokémon

Identification

Rallye: 26.II.05 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaines: OPN, AL, LR
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Déterminer deux nombres dont on connaît la différence (5), sachant qu'en ajoutant un nombre (21), au plus petit on obtient le double du plus grand, puis déterminer ce double.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre qu’hier, André avait moins d’images que Jacques, qu’aujourd’hui Jacques en a toujours le même nombre, pendant qu’André qui en a 21 de plus, en a le double du nombre d’images de Jacques.

- Procéder par essais, avec un nombre aléatoire, faire les calculs et vérifier si ce nombre satisfait aux données, sinon continuer avec d'autres essais basés sur les précédents jusqu'à trouver le bon nombre. Ou encore, procéder à une étude systématique des nombres à partir de 1. La procédure peut être améliorée en observant que les nombres pairs ne conviennent pas car ajoutés à un nombre impair (21), ils donnent un nombre impair, donc non divisible par 2.

- Ou, (procédure experte, cependant jugée improbable aux niveaux considérés), comprendre que sur les 21 autocollants qu'André a reçus en cadeau aujourd'hui, 5 sont nécessaires pour avoir le même nombre d'autocollants que Giacomo et les 16 autres sont utilisés pour doubler ce nombre.

- Conclure qu’aujourd’hui Jacques a 16 images et André en a 32.

Notions mathématiques

nombre naturel, somme, différence, double, équation,

Résultats

26.II.05

Points attribués, sur 2420 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (André a 32 images) avec une description claire de la procédure suivie (par essais avec vérification des conditions, ou par une autre procédure avec détails des calculs).
• 3 points: Réponse correcte avec une description incomplète ou peu claire ou seulement une vérification
• 2 points: Réponse correcte sans explication,
  ou réponse erronée par erreur de calcul, mais description claire montrant un raisonnement correct.
• 1 point: Début de recherche correcte (par exemple des essais attestant de la compréhension que le nombre d’images qu’André a aujourd’hui est le double de celui de Jacques).
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les observations suivantes sont tirées de l'analyse a posteriori de 370 copies (105 de cat.3, 132 de cat.4 et 133 de cat.5) de la section de Sienne, de 108 copies (29 de cat.3, 39 de cat.4 et 40 de cat.5) de la section Romagne et de 163 copies de la section Pouilles (46 de cat.3, 61 de cat.4 et 56 de cat.5).

La procédure d'essais et d'erreurs a été la plus utilisée en cat.5, bien qu'avec des nuances différentes : tentatives plus ou moins organisées, tentatives « économiques » rapportées ou non dans le tableau (par exemple, on commence par observer que le nombre d'autocollants possédés par Andrea hier doit être un nombre impair ou que le nombre de figurines d'Andrea aujourd'hui doit être pair).

Dans chaque catégorie, on retrouve des copies dans lesquelles apparaît la stratégie "experte".

Dans de nombreux cas, cependant, un examen plus attentif des copies soulève le doute qu'on arrive à l'opération 21-5 après une série d'esais (Nous avons fait beaucoup d'opérations et à la fin nous y sommes arrivés) ou même parce que cela a été suggéré par le texte (par exemple : Nous y sommes arrivés parce qu'au début Andrea avait 5 autocollants de moins que James et donc nous avons fait 21 moins 5 qui est arrivé à 16 qui étaient les autocollants d'avant").

Dans certaines copies apparaît une troisième stratégie, non prévue dans l'analyse a priori : on trouve le nombre 16 d'autocollants que Giacomo avait hier faisant 21-5, puis on calcule qu'hier Andrea, ayant 5 autocollants de moins, en avait 11 et puis, en ajoutant 21, on conclut qu'aujourd'hui Andrea a 32 autocollants.

Les erreurs présentes dans les copies trouvent leur origine dans des difficultés de gestion des relations entre les grandeurs en jeu qui, soit ne sont pas comprises, soit ne sont que partiellement comprises, soit dont l'une a été complètement oubliée (souvent la dernière, relative au double) ; cela peut être dû soit au nombre de conditions, soit à la nécessité d'opérer sur des inconnues, soit à devoir considérer une situation qui n'est pas statique, mais qui varie dans le temps (d'hier à aujourd'hui) et qui fait varier les relations entre les inconnues.

Exploitations didactiques

Dans les catégories 3 et 4, compte tenu de la difficulté rencontrée par les élèves de ces catégories en termes d'appropriation de la tâche, une proposition est :

• de ne pas proposer le problème tel qu'il est, mais l'insérer dans une activité partagée de lecture et d'analyse du texte, éventuellement accompagnée également d'une « dramatisation » pour « donner vie » à la situation problématique ;
• d'utiliser une version simplifiée qui élimine le contexte temporel « aujourd'hui-hier » : (par exemple : André et Jacques comptent leurs autocollants Pokémon. André a 5 autocollants de moins que Jacques. Mais ensuite la tante d'André arrive et lui en donne 21 autres. Maintenant, André a le double des autocollants de Jacques. Combien d'autocollants André a-t-il ? Montrez comment vous avez trouvé votre réponse.

En catégorie 5 : l'utilisation de tableaux pour la procédure de résolution par essais organisées peut servir d'inspiration pour identifier progressivement l'inconnue (la valeur numérique qu'on ne connaît pas mais que l'on veut déterminer) et sa représentation par un symbole, la reconnaissance des lois qu'elle doit satisfaire et leur explication dans le langage symbolique, c'est-à-dire, en d'autres termes, l'équation qui « mathématise » le problème.

Pour plus d’informations, se référer à l’article cité dans la Bibliographie.

l.d. et l.s.

Bibliographie

Gruppo Algebra – Pokemon - La Gazzetta di Transalpino, n. 11, 2021, Sezione Approfondimenti pp. 163-179.