Les desserts de Samia

Identificazione

Rally: 27.I.04 ; categorie: 3, 4, 5 ; ambito: LR
Famiglie:

• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons
• CO/DEN - Dénombrer des combinaisons ou des arrangements

Remarque et suggestion

Sunto

Trouver tous les desserts différents, composés de 2 boules de glace choisies parmi 4 parfums, et de 1 fruit choisi parmi 2 fruits.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analyse a priori:

- Comprendre la composition d’un dessert et les choix qui portent sur chacune des deux boules pour lesquelles il y a quatre possibilités et sur le fruit pour lequel il n’y a que deux possibilités.

- Envisager ou imaginer quelques desserts issus des quatre choix offerts : pour une boule, pour l’autre boule, pour les fruits et se rendre compte de la signification de « desserts différents ». Lors de cette première « construction » des desserts, se rendre compte que l’ordre des choix ou la disposition des boules et fruits ne doit pas avoir d’importance ; (Par exemple le dessert « vanille – chocolat – orange » est le même que « orange – chocolat – vanille ») et que deux boules de même parfum peuvent être choisies. Établir la liste de tous les choix (combinaisons) possibles

- Soit en composant des desserts sans ordre systématique et en éliminant ceux qui sont déjà proposés au fur et à mesure des nouvelles compositions, jusqu’à ce qu’on n’en trouve plus de nouvelle,

- Soit en commençant par les dix combinaisons des deux boules, de manière plus ou moins systématique :

  CC, CV, CP, CN	VV, VP, VN	PP, PN	 NN

puis en complétant avec une figue ou une orange pour arriver aux 20 possibilités :

  CCf ; CVf ; CPf ; CNf 	CCo ; CVo ; CPo ; CNo
  VVf, VPf, VNf			VVo, VPo, VNo
  PPf, PNf             		PPo, PNo	
  NNf				NNo

- Soit en partant des fruits

Nozioni matematiche

combinatoire, combinaison, arrangement, dénombrement

Risultati

27.I.04

Points attribués sur 2380 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (20 ou 20 desserts) avec une présentation organisée (liste, arbre…) ou non des solutions : CCf ; CVf ; CPf ; CNf ; CCo ; CVo ; CPo ; CNo ; VVf ; VPf ; VNf ; VVo ; VPo ; VNo ; PPf ; PNf ; PPo ; PNo ; NNf ; NNo, sans doublons
• 3 points: Réponse (19 ou 21) comportant une seule erreur (oubli ou doublon) : présence des 20 solutions et un doublon ou de 19 solutions différentes sans doublons
• 2 points: Deux à quatre erreurs (oublis ou doublons) avec présence des solutions
  oppure les 12 solutions CVf ; CPf ; CNf ; CVo ; CPo ; CNo ; VPf, VNf ; VPo, VNo, PNf, PNo (sans les boules de même parfum)
• 1 point: Réponse 20 sans présence des solutions
  oppure de cinq à huit erreurs (oubli ou doublon) avec présence des solutions
  oppure seulement les 10 combinaisons des deux boules
• 0 point: Incompréhension du problème ou moins de 10 solutions différentes

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

La procédure majoritaire est la recherche par essais, sans ordre systématique, par élimination des desserts qui ont déjà été trouvés, au fur et à mesure des nouvelles compositions. Les observations de copies font apparaître de longues listes (parfois une page entière) où les composantes sont souvent écrites en toute lettres, ou abrégées par l’écriture de leurs lettres initiales, ou par des dessins des desserts, avec couleurs ou désignation complémentaires par des lettres.

Les premières organisations qui apparaissent concernent les deux fruits : chaque combinaison des deux boules est répétée deux fois : avec chacun des deux fruits.

Puis, dans environ 20 à 40 % des copies, les desserts sont organisés par goût de la première boule suivi du goût de la seconde pour obtenir une suite de 4 + 3 + 2 + 1 combinaisons, répétées pour chaque fruit. (Voir l’exemple proposé dans Tâche de résolution et savoirs mobilisés).

Parfois, les combinaisons sont notées régulièrement en faisant correspondre à chaque goût les trois autres, puis en biffant ceux qui sont à double vu que l’ordre n’intervient pas dans les deux goûts. comme dans l’exemple suivant – remarquable. d’une classe de catégorie 3, précédé de la légende :

C : cioccolato, V : vaniglia, P : pistacchio, N : nocciola. F: fico, A: Arancia

Parmi les erreurs, on trouve les oublis ou les doublons de la procédure sans organisation systématique.

On trouve aussi les oublis des combinaisons de deux boules de même goût. Dans ce cas, malgré l’exemple de l’énoncé, les élèves pensent qu les deux boules doivent être de goùts différents.

Une autre erreur fréquente est de prendre en compte l’ordre des deux goûts des boules dans l’écriture de la combinaison et, par exemple, de considérer « chocolat – vanille – orange » comme différent de « vanille – chocolat - orange»

Indicazioni didattiche

Sous cette forme, le problème est plutôt un « exercice » de combinatoire proposé par l’adulte. On trouve d’autres problèmes de cette famille dans un contexte social ou réel pour l’élève.

Au niveau mathématique, les problèmes de combinatoire font intervenir la multiplication et les sommes des premiers nombres naturels qui sont à la base de l’organisation systématique de l’inventaire. Le nombre de « combinaison » des quatre parfums deux à deux est la somme de 4 + 3 + 2 + 1 ou 4 × 4 – 3 × 2 ; la combinaison avec les deux fruits est une multiplication par 2.

C’est au moment où certains élèves peuvent percevoir la relation avec les nombres et les opérations que le problème peut devenir exploitable d’un point de vue didactique.

Voir les problèmes de la famille Chercher des arrangements ou des combinaisons dans le domaine "Logique et raisonnement".

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