I dolci di Samia

Identificazione

Rally: 27.I.04 ; categorie: 3, 4, 5 ; ambito: LR
Famiglie:

• CO - Cercare combinazioni
• CO/DEN - Contare combinazioni

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare tutti i dolci diversi, composti da 2 palline di gelato scelte fra quattro gusti, e da 1 frutto scelto tra due frutti.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere la composizione di un dolce e le scelte riguardanti ciascuna delle due palline di gelato per le quali ci sono quattro possibilità e la frutta per la quale ce ne sono solo due.

- Prendere in considerazione o immaginare alcuni dolci ottenuti dalle quattro scelte offerte: per una pallina, per l'altra pallina, per la frutta e rendersi conto del significato di "dolci differenti." Al momento di questa prima "costruzione" dei dolci, rendersi conto che l'ordine delle scelte o la disposizione delle palline di gelato e della frutta non devono avere importanza (per esempio il dolce " vaniglia – cioccolato – arancia" è lo stesso di arancia – cioccolato – vaniglia") e che possono essere scelte due palline del medesimo gusto. Stabilire l'elenco di tutte le scelte (combinazioni) possibili

- o componendo dei dolci senza ordine sistematico ed eliminando quelli già presenti mano a mano che si procede con le composizioni, finché non se ne trovino più di nuovi,

- o cominciando dalle dieci combinazioni di due palline di gelato, in modo più o meno sistematico:

  CC, CV, CP, CN	VV, VP, VN	PP, PN	 NN

Completando poi poi con un fico o una arancia per arrivare a 20 possibilità:

  CCf ; CVf ; CPf ; CNf 	CCo ; CVo ; CPo ; CNo
  VVf, VPf, VNf			VVo, VPo, VNo
  PPf, PNf             		PPo, PNo	
  NNf				NNo

- o partendo dalla frutta.

Nozioni matematiche

combinatorio, combinazione, ordinamento, conteggio

Risultati

27.I.04

Punti attribuiti su 2380 classi di 19 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta (20 o 20 dolci) con presentazione organizzata (elenco ordinato, diagramma ad albero) o no: CCf ; CVf ; CPf; CNf; CCa; CVa; CPa; CNa; VVf; VPf; VNf; VVa; VPa; VNa; PPf; PNf; PPa; PNa; NNf; NNa, senza doppioni
• 3 punti: Risposta (19 o 21) che riporta un solo errore (dimenticanza o doppione): presenza di 20 soluzioni e un doppione o 19 soluzioni diverse senza doppioni
• 2 punti: Da due a quattro errori (dimenticanze o doppioni) con la presenza delle soluzioni
  oppure le 12 soluzioni: CVf; CPf; CNf; CVa; CPa; CNa; VPf, VNf; VPa, VNa, PNf, PNa (senza le palline di gelato del medesimo gusto)
• 1 punto: Risposta 20 senza presentare le soluzioni
  oppure da cinque a otto errori (dimenticanze /doppioni) con la presenza delle soluzioni
  oppure soltanto le 10 combinazioni di palline di gelato
• 0 punto: Incomprensione del problema oppure meno di 10 soluzioni diverse

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

La procédure majoritaire est la recherche par essais, sans ordre systématique, par élimination des desserts qui ont déjà été trouvés, au fur et à mesure des nouvelles compositions. Les observations de copies font apparaître de longues listes (parfois une page entière) où les composantes sont souvent écrites en toute lettres, ou abrégées par l’écriture de leurs lettres initiales, ou par des dessins des desserts, avec couleurs ou désignation complémentaires par des lettres.

Les premières organisations qui apparaissent concernent les deux fruits : chaque combinaison des deux boules est répétée deux fois : avec chacun des deux fruits.

Puis, dans environ 20 à 40 % des copies, les desserts sont organisés par goût de la première boule suivi du goût de la seconde pour obtenir une suite de 4 + 3 + 2 + 1 combinaisons, répétées pour chaque fruit. (Voir l’exemple proposé dans Tâche de résolution et savoirs mobilisés).

Parfois, les combinaisons sont notées régulièrement en faisant correspondre à chaque goût les trois autres, puis en biffant ceux qui sont à double vu que l’ordre n’intervient pas dans les deux goûts. comme dans l’exemple suivant – remarquable. d’une classe de catégorie 3, précédé de la légende :

C : cioccolato, V : vaniglia, P : pistacchio, N : nocciola. F: fico, A: Arancia

Parmi les erreurs, on trouve les oublis ou les doublons de la procédure sans organisation systématique.

On trouve aussi les oublis des combinaisons de deux boules de même goût. Dans ce cas, malgré l’exemple de l’énoncé, les élèves pensent qu les deux boules doivent être de goùts différents.

Une autre erreur fréquente est de prendre en compte l’ordre des deux goûts des boules dans l’écriture de la combinaison et, par exemple, de considérer « chocolat – vanille – orange » comme différent de « vanille – chocolat - orange»

Indicazioni didattiche

Sous cette forme, le problème est plutôt un « exercice » de combinatoire proposé par l’adulte. On trouve d’autres problèmes de cette famille dans un contexte social ou réel pour l’élève.

Au niveau mathématique, les problèmes de combinatoire font intervenir la multiplication et les sommes des premiers nombres naturels qui sont à la base de l’organisation systématique de l’inventaire. Le nombre de « combinaison » des quatre parfums deux à deux est la somme de 4 + 3 + 2 + 1 ou 4 × 4 – 3 × 2 ; la combinaison avec les deux fruits est une multiplication par 2.

C’est au moment où certains élèves peuvent percevoir la relation avec les nombres et les opérations que le problème peut devenir exploitable d’un point de vue didactique.

Voir les problèmes de la famille Cercare combinazioni nel ambito "Logica e ragionamento".

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