Fête foraine

Identification

Rallye: 27.II.02 ; catégories: 3, 4 ; domaine: LR
Familles:

• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons
• CO/DEN - Dénombrer des combinaisons ou des arrangements

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Résumé

Trouver tous les arrangements de trois éléments différents dont l’un est répété deux fois

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre

• que l’ordre dans lequel les jeux sont faits est noté par l’ordre des trois lettres sur le billet,
• que chaque élève ne jouera qu’à deux jeux, deux fois à l’un et une fois à l’autre,
• qu’il ne peut donc y avoir trois lettres différentes sur un billet ni trois fois la même lettre,
• que deux billets (comme ceux des exemples) avec les mêmes jeux sont différents si l’ordre des jeux n’est pas le même

- Comprendre qu’il est nécessaire de chercher toutes les différentes possibilités pour arranger les lettres.

- Trouver les arrangements, un à un sans organisation ou de manière plus systématique en répétant par exemple deux fois la lettre C et en insérant l’une des deux autres (Q et F) en première, deuxième ou troisième position : QCC, CQC, CCQ, FCC, CFC, CCF puis reprendre en prenant Q, puis F comme double lettre.

- On obtient ainsi les 18 (3 × 6) arrangements possibles : QCC, CQC, CCQ, FCC, CFC, CCF - CQQ, QCQ, QQC, FQQ,

- En déduire qu’il n’y aura pas 20 billets différents pour la classe mais que certains élèves devront choisir des mêmes billets

Notions mathématiques

combinatoire, combinaison, arrangement, triplet

Résultats

27.II.02

Points attribués sur 1567 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte « Les 20 élèves de la classe ne pourront pas avoir des billets tous différents car il n’y en a que 18 » ou expressions équivalentes, avec la liste des 18 billets différents (ou 15 sans mentionner les exemples)
• 3 points: Réponse « Non … » avec de 14 à 17 billets corrects différents (ou de 11 à 14 en excluant les exemples)
  ou réponse « Oui … » au cas où de 20 à 22 billets auraient été trouvés dont 18 sont corrects (ou 15 sans mentionner les exemples)
• 2 points: Réponse « Non … » en indiquant qu’il y a 18 billets différents, mais sans l’inventaire des billets
  ou réponse « Non … » avec de 10 à 13 billets corrects différents (ou de 7 à 10 sans mentionner les exemples)
  ou réponse « Oui … » au cas où plus de 22 billets auraient été trouvés dont 18 sont corrects (ou 15 sans mentionner les exemples)
• 1 point: Réponse « Non … » avec moins de 10 billets corrects différents
  ou réponse « Oui … » car plus de 20 billets ont été trouvés, même si nombreux d’entre eux sont répétés
• 0 point: Incompréhension du problème
  ou moins de quatre billets corrects
  ou réponse « Non » ou « Oui » sans aucune explication

Procédures, obstacles et erreurs relevés

L’obstacle principal est de trouver une organisation des billets. La structure de toutes les recherches combinatoires est multiplicative, mais aucun groupe d’élèves de cet âge ne peut vraiment la concevoir. Quelques organisations sont esquissées, surtout en catégorie 4, par groupes de six, mais elles ne sont pas toujours poursuivies dans la structure interne de ces groupes.

En l’absence d’une organisation, la seule manière d’éviter les oublis ou les doublons est un contrôle très rigoureux, billet par billet. Sur 120 copies examinées de deux sections

Environ un tiers des classes trouvent les 18 arrangements corrects, dont la moitié sont ordonnés et l’autre moitié non ordonnés

Dans 70 copies, il y a des oublis ou/et doublons. L’échantillon des réponses est très étendu et va de 3 à 60 et permet de se rendre compte de la difficulté de l’inventaire des arrangements corrects.

Voici la liste des nombres d’arrangements trouvés avec, entre parenthèses, leur nombre lorsqu’il est supérieurs à 1 :

3 (5), 6 (4), 7, 8, 9, 12 (4), 13 (3), 14, 15 (4), 16 (2), 17 (7), 18 (6), 19 (4), 20 (17), 21, 22, 23, 24 (4), 26, 32, 36.

On trouve peu d’incompréhensions ou de non réponses.

Exploitations didactiques

Si l’on désire exploiter ce problème à des fins didactiques, il semble que la meilleure manière de la faire est de faire comparer les différents billets trouvés afin de déterminer, entre élèves, une structure permettant de les organiser, par exemple celle de 3 « paquets » de 6 billets. (Il y a 6 billets commençant pas A ou par B ou par F ; il y a six billets où ne figurent que les deux lettres A et B ou A et F ou B et F … . Il faut cependant éviter toute « formule » ou règle.