Alle giostre

Identificazione

Rally: 27.II.02 ; categorie: 3, 4 ; ambito: LR
Famiglie:

• CO - Cercare combinazioni
• CO/DEN - Contare combinazioni

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Sunto

Trovare le disposizioni di tre elementi diversi uno dei quali si ripete due volte.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere che

• - l’ordine con cui sono stati fatti i giochi è simbolizzato con lettere dell’alfabeto;
• - ogni bambino farà due giochi uno dei quali sarà ripetuto
• - non è possibile fare tre volte lo stesso gioco
• - due biglietti, come mostrano gli esempi, sono diversi anche se hanno gli stessi giochi, ma un ordine diverso

- Capire che è necessario cercare tutte le diverse possibilità di organizzare le lettere tenendo conto anche dell’ordine in cui sono stati svolti i giochi.

- Individuare le combinazioni in maniera non organizzata oppure organizzando la ricerca, per esempio ripetere due volte la lettera A ed inserire una delle altre due (B e F) o nella prima o nella seconda o nella terza posizione (BAA – ABA – AAB – FAA – AFA - AAF) e poi procedere nello stesso modo ripetendo due volte la lettera B e la lettera F.

- Si ottengono così le 18 (3 × 6) combinazioni possibili: BAA - ABA - AAB -FAA - AFA – AAF – BFF – FBF – FFB – AFF – FAF – FFA – ABB – BAB – BBA – FBB – BFB – BBF.

- Dedurre quindi che non ci potranno essere 20 biglietti diversi per la classe.

Nozioni matematiche

combinatorio, combinazione, disposizione, tripletta

Risultati

27.II.02

Punti attribuiti su 1567 classi di 20 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta “Non potranno avere 20 biglietti diversi perché ce ne sono solo 18” o espressioni equivalenti con elenco dei 18 biglietti diversi (o 15 escludendo gli esempi)
• 3 punti: Risposta corretta indicando da 14 a 17 biglietti corretti diversi (o da 11 a 14 esclusi gli esempi)
  oppure risposta “Sì …” perché trovati da 20 a 22 biglietti di cui 18 (o 15 escludendo gli esempi) sono corretti
• 2 punti: Risposta corretta con la dichiarazione che ci sono 18 biglietti diversi, ma senza elencarli
  oppure risposta corretta indicando da 10 a 13 biglietti diversi (o da 7 a 10 esclusi gli esempi)
  oppure risposta “Sì …” perché trovati più di 22 biglietti di cui 18 (o 15 escludendo gli esempi) sono corretti
• 1 punto: Risposta corretta indicando meno di 10 biglietti corretti diversi
  oppure risposta “Sì …” perché trovati più di 20 biglietti (anche se non ci sono tutti i biglietti corretti e molti sono ripetuti)
• 0 punto: Incomprensione del problema
  oppure meno di quattro biglietti corretti
  oppure solo risposta “No” o “Sì” senza alcuna spiegazione

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

L’obstacle principal est de trouver une organisation des billets. La structure de toutes les recherches combinatoires est multiplicative, mais aucun groupe d’élèves de cet âge ne peut vraiment la concevoir. Quelques organisations sont esquissées, surtout en catégorie 4, par groupes de six, mais elles ne sont pas toujours poursuivies dans la structure interne de ces groupes.

En l’absence d’une organisation, la seule manière d’éviter les oublis ou les doublons est un contrôle très rigoureux, billet par billet. Sur 120 copies examinées de deux sezioni

Environ un tiers des classes trouvent les 18 arrangements corrects, dont la moitié sont ordonnés et l’autre moitié non ordonnés

Dans 70 copies, il y a des oublis ou/et doublons. L’échantillon des réponses est très étendu et va de 3 à 60 et permet de se rendre compte de la difficulté de l’inventaire des arrangements corrects.

Voici la liste des nombres d’arrangements trouvés avec, entre parenthèses, leur nombre lorsqu’il est supérieurs à 1 :

3 (5), 6 (4), 7, 8, 9, 12 (4), 13 (3), 14, 15 (4), 16 (2), 17 (7), 18 (6), 19 (4), 20 (17), 21, 22, 23, 24 (4), 26, 32, 36.

On trouve peu d’incompréhensions ou de non réponses.

Indicazioni didattiche

Si l’on désire exploiter ce problème à des fins didactiques, il semble que la meilleure manière de la faire est de faire comparer les différents billets trouvés afin de déterminer, entre élèves, une structure permettant de les organiser, par exemple celle de 3 « paquets » de 6 billets. (Il y a 6 billets commençant pas A ou par B ou par F ; il y a six billets où ne figurent que les deux lettres A et B ou A et F ou B et F … . Il faut cependant éviter toute « formule » ou règle.