Un peu de foot

Identification

Rallye: 27.F.08 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaines: LR, OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons

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Résumé

Complétez un tableau en recherchant trois nombres naturels dont la somme est 38 et dont la somme des produits du premier nombre par 3, du second nombre par 1, du troisième par 0 est égale aux nombres attendus (61 et 91). Pour 61, un des trois nombres est donné, dans un contexte de tableau de classement d’un championnat,

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre le tableau et vérifier, pour l’équipe du Real Madrid, que la somme des matchs gagnés, nuls et perdus est de 38 et que le score 100 est obtenu en multipliant le nombre de matchs gagnés par 3 et en ajoutant au résultat le produit de 1 par le nombre de matchs nuls et 0 pour le nombre de matchs perdus : 3 × 32 + 1 × 4 + 2 × 0 = 100.

- Comprendre que le nombre de matchs perdus ne modifie pas le total des points, que les points obtenus lors des matchs nuls correspondent à leur nombre.

- Déduire que pour Valence, 61 – 10 = 51 est le nombre de points obtenus pour les 17 matchs gagnés (17 = 51 : 3). Il y a 11 matchs perdus car 38 – (17 + 10) = 11.

- Pour Barcelone, on peut procéder à partir du plus grand multiple de 3 inférieur à 91 en diminuant successivement de 1 le nombre de matchs :

91 = 3 × 30 + 1 et 30 + 1 + 7 = 38 donc 30 victoires, 1 match nul et 7 défaites ou 30 / 1 / 7

91 = 3 × 29 + 4 et 29 + 4 + 5 = 38 donc 29/ 4 / 5

et ainsi de suite pour les deux cas suivants 28 / 7 / 3 et 27 / 10 / 1, alors qu’avec 26 matchs la somme des victoires serait supérieure à celle des matchs joués :

91 = 3 × 26 + 13 et 26 + 13 = 39 ; 39 > 38.

Ou

- Observer qu’il s’agit de trouver trois nombres dont la somme est 38 tels que le triple du premier plus le deuxième font 91.

Puisque 91 n’est pas un multiple de 3 mais que 90 l’est, il y a au moins un match nul. S’il y en a qu’un alors 30 matchs sont gagnés (30 = 90 : 3) et il y a donc 7 matchs perdus 7 = 38 – (30 + 1).

• Procéder de la même manière en augmentant le nombre de matchs nuls. Il ne peut y avoir 2 ou 3 matchs nuls parce que ni 89 ni 88 ne sont multiples de 3. Par contre, il peut y avoir 4 matchs nuls et 29 matchs gagnés (29 = 87 : 3) et 5 matchs perdus : 5 = 38 – (29 + 4) En continuant ainsi on obtient les autres possibilités et on exclut les nombres de victoires inférieurs à 27.
• Réaliser qu’en réduisant le nombre de victoires de un, pour obtenir le même score, il faut augmenter le nombre de nuls de 3, dans la mesure où la condition relative au nombre total de matchs le permet.

Ou

- faire une hypothèse sur le nombre de matchs nuls (ou gagnés), déterminer à partir du nombre de points obtenus durant la saison, le nombre de matchs gagnés (ou nuls) et enfin à partir du nombre de matchs joués, le nombre de matchs perdus. Certaines hypothèses conduisent à des impossibilités.

Notions mathématiques

logique, nombre naturel, somme, produit

Résultats

27.F.08

Points attribués sur 242 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (11 matchs perdus pour Valence et 4 solutions pour Barcelone : 30/1/7, 29/4/5, 28/7/3 et 27/10/1) avec une explication claire de l’exhaustivité des 4 solutions (essais, raisonnements sur les multiples, déductions, avec détail des calculs…)
• 3 points: Réponse correcte avec une explication peu claire ou incomplète (il manque des essais ou l’explication qu’il n’y a que 4 possibilités pour Barcelone, ou les détails des calculs ne sont pas donnés)
  ou réponse correcte pour Valence et seulement 2 ou 3 possibilités pour Barcelone avec explications claires
  ou réponse correcte et bien justifiée pour Barcelone mais pas de réponse pour Valence
• 2 points: Réponse correcte pour Valence avec le détail des calculs et une seule possibilité pour Barcelone
  ou les quatre possibilités pour Barcelone dans lesquelles le nombre de victoires est correct mais avec une ou deux erreurs de calcul pour les défaites
• 1 point: Réponse correcte seulement pour Valence avec détail des calculs et pas de réponse pour Barcelone
  ou seulement la réponse correcte pour Valence sans explication et des essais montrant la compréhension de la situation pour Barcelone (par exemple, les nombres respectent la condition selon laquelle la somme des points égale 91 mais le nombre de matchs joués est différent de 38)
• 0 point: Incompréhension du problème