Banque de problèmes du RMT
lr42-fr
|
|
Banque de problèmes du RMTlr42-fr |
|
Déterminer toutes les possibilités d'obtenir le nombre 55 comme la somme de cinq nombres naturels différents dont le plus petit est 8.
Analyse a priori:
A la lecture de l’énoncé, comprendre que l’on recherche quatre nombres tous différents, plus grands que 8, dont la somme est 47 (55 – 8), puis se rendre compte qu’il faudra trouver les possibilités une à une.
Dresser l’inventaire est la tâche essentielle du problème : il s'agit d'organiser les essais pour s’assurer qu’il n’y a pas de doublons ni oublis. Il faut donc savoir additionner des nombres et les ordonner pour permettre de se repérer, compenser une réduction de 1 d’un des nombres par une augmentation de 1 d’un autre nombre, partir d’un essai facilement repérable et passer au suivant en limitant les modifications, disposer les essais permettant de les comparer.
Dans cet exemple si l’on commence par la plus petite somme des trois premiers termes en modifiant successivement les suivants on arrive à constater, par épuisement qu’il n’y a que 6 solution,
9 - 10 - 11 - 17 9 – 11 - 13 - 14 10 – 11 – 12 - 14 9 - 10 - 12 - 16 9 - 11 - 12 - 15 9 - 10 - 13 - 15
addition, soustraction, somme, associativité, commutativité, décomposition, combinaison
Points attribués sur 3337 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 252 (27%) | 398 (43%) | 130 (14%) | 96 (10%) | 51 (6%) | 927 | 1.24 |
| Cat 6 | 375 (30%) | 567 (45%) | 149 (12%) | 116 (9%) | 54 (4%) | 1261 | 1.13 |
| Cat 7 | 274 (24%) | 420 (37%) | 160 (14%) | 182 (16%) | 113 (10%) | 1149 | 1.51 |
| Total | 901 (27%) | 1385 (42%) | 439 (13%) | 394 (12%) | 218 (7%) | 3337 | 1.29 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Tous les groupe ont compris qu’il fallait faire des essais mais un tiers seulement sont arrivés à une organisation efficace permettant d’arriver aux six solutions.
Les erreurs sont des oublis dans des listes qui semblent bien organisées à première vue, par exemple :
8 + 9 + 10 + 13 + 15 = 55 8 + 9 + 10 + 12 + 16 = 55 8 + 9 + 11 + 12 + 15 = 55 8 + 9 + 10 + 11 + 17 = 55
où la quatrième ligne aurait dû être placée dans le groupe des trois solutions commençant par 8 + 9 + 10, ce qui aurait permis d’écrire les deux seules solutions commençant par 8 + 9 + 11 et se rendre compte qu’il n’y en a plus qu’une autre commençant par 8 + 10 + 11.
D’autres erreurs sont dues à des doublons, suite à une disposition peu ordonnée.
D’autres encore présentent des nombres inférieurs à 8.
On trouve même des présentation de plus de 30 solutions, ne respectant ni la somme 55, ni l’obligation de nombres différents, ni le minimum de 8.
On se rend compte, en examinant les copies, de la difficulté d’une organisation et d’une écriture des solutions permettant de les énumérer progressivement.
Ce « savoir » ne figure pas dans les programmes « officiels » de mathématiques car il y a de très nombreuses manières d’organiser un inventaire. Au cours de la mise en commun qui suit la résolution du problème, les élèves doivent constater que l’organisation rigoureuse est absolument nécessaire.
C’est aussi l’occasion de pratiquer les propriétés de l’addition et des décompositions additives.
(c) ARMT, 2022-2024