Banque de problèmes du RMT
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Reconstituer une répartition de 3 personnes de nationalités différentes, dans trois maisons de couleurs différentes, de 3 métiers différents à partir d’affirmations, négations et relations de voisinage
Après avoir compris, au cours d’une première lecture, qu’il y a trois nationalités, trois professions et trois couleurs, constater qu’il faudra combiner les informations pour pouvoir déterminer progressivement les caractéristiques de chaque maison et chaque individu.
Une procédure par essais et erreurs consiste à émettre une hypothèse concernant une des informations, passer aux suivantes pas à pas, poursuivre en cas de compatibilité ou rejeter l’hypothèse en cas de contradiction. On arrive ainsi à une configuration complète de l’ensemble des maisons : couleur, nationalité et profession ; sans toutefois pouvoir affirmer que la solution est unique.
Une autre procédure consiste à déduire des relations nouvelles à partir d’une information ou de la combinaison de plusieurs d’entre elles. Par exemple : tirer de l’information « la maison jaune à côté de la rouge n’est pas à côté de la verte » l’implication que la rouge est au milieu et que la jaune et la verte sont aux extrémités.
La configuration trouvée par déductions donne la certitude qu’elle est unique :
pour les couleurs : 21 vert 23 rouge 25 jaune pour les nationalités :Italien Français Suisse pour les professions : épicier pharmacien boucher
Les savoirs mobilisés se situent au niveau des raisonnements hypothético-déductifs : conjonctions, déductions, implications et de leur explicitation pour expliquer la manière de procéder.
logique, raisonnement, déduction, négation, implication
Points attribués sur 1567 copies de 20 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 152 (36%) | 76 (18%) | 61 (14%) | 98 (23%) | 41 (10%) | 428 | 1.53 |
| Cat 4 | 128 (23%) | 76 (14%) | 107 (19%) | 154 (28%) | 89 (16%) | 554 | 2 |
| Cat 5 | 83 (14%) | 79 (14%) | 108 (18%) | 154 (26%) | 161 (28%) | 585 | 2.39 |
| Total | 363 (23%) | 231 (15%) | 276 (18%) | 406 (26%) | 291 (19%) | 1567 | 2.02 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
On note une évolution caractéristique de la fréquence des explications où figure au moins une relation logique explicite (« 4 points »), qui passe de 11% à 28% de la catégorie 3 à la catégorie 5. Les classes qui ont trouvé la solution (critères 2, 3, 4) sont majoritaires dans l’ensemble : près de la moitié en catégorie 3 (49%), près des deux tiers en catégorie 4 (63%) et près des trois quarts des en catégorie 5 (72%)
Les observations qui suivent ont été relevées à partir d’environ 200 copies de SR, PR, MI. BE, RV :
En général, les réponses correctes ne se limitent pas à la réponse aux deux questions de l’énoncé : « Quelle est la nationalité du pharmacien et de quelle couleur est sa maison ? ». Elles donnent la configuration totale des couleurs, nationalités et professions le plus souvent directement sur le dessin des trois maisons, parfois par une liste sur trois colonnes.
Exemples de réponses avec relations logiques explicites (notées en gras) :
- On sait déjà que l’Italien est au numéro 21 et que sa maison n’est pas jaune. Vu que le boucher habite une maison jaune et qui est à côté de la rouge mais pas la verte la maison jaune est au numéro 25 et la rouge au numéro 23.
- Comme la jaune ne doit pas être à côté de la verte on a mis la rouge au milieu. Comme l’épicier ne doit pas être suisse et qu’il doit être à côté du Français, il est forcément Italien et la consigne explique qu’il doit être dans la maison 21 et à côté du Français, le Français est dans la maison 23, … (avec une table de vérité en complément)
- Noi abbiamo ragionato che il salumiere è l’italiano perché non è svizzero e abita accanto al francese. Il maccellaio è lo svizzero perché abita accanto alla casa rossa ma non alla verde, allora il francese è senza lavoro e sarà il farmacista.
- Siccome che il macellaio abita nella casa gialla ed è accanto a quella rossa ma non a quella verde, abbiamo capito che non può essere in mezzo però siccome che alla nr 21 la casa non è gialla per forsa la casa gialla è la nr 25 e siccome che l’italiano abita nella casa 21 e non è gialla è per forza verde perchè la casa rossa è la nr 23 perchè e affianco a tutte due le case. Siccome che alla 21 abità l’italiano e il salumiere che non è svizzero abita accanto a quella francese la casa gialla è la svizzera e quindi la casa rossa è del francese.
- Visto che il salumiere non è svizzero e abita vicino al francese, la sua nazionalità è italiana e la sua casa è verde, perché non è gialla e accanto a lui c’è la casa rossa per forza
- Il salumiere è per forza italiano perché non è svizzero e abita accanto al francese,nella casa 21 che non è gialla…
- Dato che il macellaio abita nella casa gialla che è accanto a quella rossa ma non a quella verde, non può che essere la n° 23 quella rossa, quindi la rossa è in mezzo.
- La casa 21 dell’italiano, non è gialla quindi è la 25 la gialla e la 21 è verde perché quella rossa deve stare in mezzo.
On constate ici l’apparition et la maîtrise des connecteurs logiques (dans environ 20% des copies) « vu que », « mais », « donc », « car », « comme », « forcément » … et leurs correspondants en italien « quindi » « siccome », « per forza », « perché » …
Lorsque ces termes n’apparaissent pas explicitement, on ne peut pas se prononcer sur la prise de conscience des relations logiques et par conséquent sur leur maîtrise. C’est le cas de très nombreuses solutions où le texte des élèves est plutôt une description ou un récit de leur résolution. Par exemple :
- Abbiamo letto le consegne. Tutti insieme abbiamo pensato et ragionato. Sulla brutta abbiamo colorato le case in modo che sapessimo come ordinarle. Le abbiomo copiate sulla bella. Abbiamo scritto le nazionalità sotto la casa. Abbiamo scritto i lavori. Abbiamo ricontrollato.
- Une copie dresse l’inventaire de toutes les combinaisons de couleurs, puis de nationalités et enfin de professions selon les numéros des maisons avec le commentaire: On a écrit toutes nos possibilités puis on a diminué (éliminé) en lisant les instructions.
- On a suivi les indications. On a fait des essais et ça nous a paru juste.
- Abbiamo letto con attenzione gli indizi del testo, abbiamo scoperto che; abbiamo letto le informazioni e siamo arrivati alla soluzione;
- L’italiano abita al 21, la sua casa non è gialla, non è al centro ,ma laterale e così gli atri numeri sono venuti spontaneamente...
Dans certains cas les commentaires ne décrivent pas le raisonnement suivi, mais ne donnent que la solution accompagnée parfois d’indications qui ne sont pas des « explications » comme le demande la consigne et souvent avec une configuration claire.
- Prima abbiamo associato i colori alle case, poi i mestieri e le nazionalità...
- abbiamo ragionato escludendo i dati certi, siamo andati per tentativi;
- On a fait un tableau et un croquis.
- J’ai comparé les informations je les ai relu plusieurs fois et j’ai trouvé les réponses.
- Nous avons comparé et trouvé les pièces manquantes.
On relève, en Suisse romande et en Belgique, la présence de « tables de vérité » croisant par exemple les nationalités et les couleurs puis les professions et les couleurs. Cet instrument n’est toutefois pas en mesure de donner la configuration complète sans une observation délicate des différents croisements des deux ou trois tables nécessaires.
Les réponses avec une seule erreur, sur la couleur de la maison ou sur la nationalité du pharmacien (attribution de « 1 point ») se retrouvent dans 15% des copies. Parmi ces erreurs, on relève une prise en compte incomplète de la donnée L'épicier habite à côté du Français qui n’indique pas seulement les positions relatives de l’épicier et du Français mais aussi la négation que l’épicier soit le Français, qui peut conduire à la réponse Le pharmacien habite dans la maison rouge et est suisse.
Autre type d’erreur :
Per prima cosa abbiamo disegnato le 3 case con i 3 rispettivi numeri poi abbiamo letto che il macellaio abita nella casa gialla con il numero 25. Il salumiere l'abbiamo messo al lato sinistro della casa gialla con il numero 23 e il colore della casa rosso. L’italiano abbiamo capito che era il farmacista e abita nella cas verde con il numero 21
Grugnetti. Lucia, Jaquet, François. Pensare, scrivere e… costruire matematica In Bollettino del Giscel 2014
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