Le vieux compteur (I)

Identification

Rallye: 11.I.02 ; catégories: 3, 4 ; domaine: NU
Familles:

• OR - Traiter une suite ordonnée de codes
• OR/DE - Dénombrer des chiffres

Remarque et suggestion

Résumé

Dénombrer le nombre de changements de chiffres, des unités, des dizaines et des centaines, d’un compteur qui passe de 000 à 127

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre le fonctionnement de l’objet « compteur » pour aider à passer de l’objet mécanique à la succession des nombres naturels écrits par trois chiffres.

- Ecrire les premiers nombres 001, 002, 003, 004 ... et compter les changements; se rendre compte que les chiffres des unités changent à chaque passage, ceux des dizaines une fois sur dix passages etc... puis constater que de 009 à 010 il y a deux changements, un « cric » et un « crac ».

En passant, vérifier le 013 de l’exemple, puis continuer, en faisant apparaître la règle « chaque dizaine, 11 bruits »

- Passer la centaine en ajoutant un bruit « rrmt » à la règle précédente.

- Effectuer le comptage final : 127 « cric », 12 « crac » et 1 « rrmt », c’est-à-dire 140 bruits, ou comprendre que les 127 « cric » correspondent aux unités, les 12 « crac » sont ceux des dizaines et le « rrmt » est celui du passage de la centaine.

Notions mathématiques

numération, unité, dizaine, centaine, chiffre, base dix

Résultats

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète avec les détails (140, 127, 12 et 1) correspondants et quelques explications (dessin de tous les nombres, suite 11, 22, 33, 44, ... 99, 110, ...)
• 3 points:
• 2 points:
• 1 point:
• 0 point:

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Observations et commentaires sur les procédures observées

L'explication la plus fréquente en cas de réponse correcte est celle qui est prévue dans la tâche de résolution: comprendre qu'il y a 127 "cric" correspondant au nombre des unités, 12 "crac" pour les dizaines et 1 "rrmt" pour le passage à la centaine, c'est-à-dire 140 bruits en tout.

Une explication originale relevée en catégorie 3 est liée à l'usage de couleurs. Les élèves ont écrit tous les chiffres des nombres de 1 à 127 de trois couleurs différentes. l'une pour les unités, l'autre pour les dizaines et la troisième pour les centaines. Ils ont ainsi pu compter les 140 changements de couleur

Observation des difficultés et obstacles

Una difficoltà emersa a posteriori e rilevata dagli insegnanti che hanno sperimentato nelle loro classi il problema è la non conoscenza, da parte degli allievi, dell’oggetto “contachilometri” o quanto meno del suo funzionamentononostante siano abituati a viaggiare in macchina fin dalla nascita!

La difficoltà, insita nell’oggetto “contachilometri” e non riscontrabile in altri problemi della stessa famiglia1, è quella di non marcare con “un’etichetta” la decima unità ma di riprendere il conteggio da 0 dopo la cifra 9 (la decima unità incrementa di 1 le decine e riporta a 0 le unità).

Lavorando con gli oggetti concreti si mantiene “memoria” reale di ciò che si sta facendo: si mette un’etichetta diversa sul primo raggruppamento fatto di 10 e poi un’altra ancora diversa per 10 di questi raggruppamenti, e così via, … Nel contachilometri non c’è “memoria” concreta ma solo teorica, basata cioè soltanto sul concetto di scrittura posizionale dei numeri.

Contare le etichette che occorrono per etichettare 127 oggetti concreti sarebbe stato più semplice che contare gli “scatti” in un contatore! (quest’ultimo implica anche un’ulteriore corrispondenza: suono-segno).

“Fotografare” la situazione dopo 13 km ha portato ad errori nella versione 3-4, a causa del disegno con i numeri incolonnati, ha indotto ad eseguire una somma che per puro caso conduceva alla soluzione esatta

Errori

Più che altro in cat.3 gli allievi hanno utilizzato la decomposizione standard “127 Km ◊ 1rrmt, 2crac, 7cric” (1h, 2 da, 7u) rispondendo 127 o 10 rumori (1+2+7).

Lo stereotipo a cui si fa riferimento è quello, giustamente, del valore posizionale delle cifre, ma ci si ferma alla lettura che riporta tutto ad unità perdendo di vista gli ordini intermedi. Il numero 127 è visto come 1h, 2da, 7u cioè 127 unità, senza considerare che corrisponde anche a 12 da e 7 u cioè 12,7 decine e anche a 1h e 27 u cioè 1,27 centinaia, e così via.

• 127 Km “1rrmt, 2crac, 7cric” 10 rumori
• Alfonso durante la sua gita in automobile sente: 7cric, 20 crac, 100 rrmt li abbiamo trovati mettendo insieme h, da, u
• I rumori sono 40 perché 7 vale 27, 2 vale 12, e 1 vale 1 (confusione nella scomposizione di 127)
• I rumori che ha sentito in tutto sono 140. Abbiamo sommato 13+127=140(la risposta giusta!)
• Totale 130 rumori: 13x7,per sapere il numero dei cric, 13x2 sapere il numero dei crac e 13x1 per sapere il numero degli rrmt. (Ancora una volta la “fotografia” dopo 13 km ha indotto in errore!)

Exploitations didactiques

Questo problema è un valido supporto per verificare a vari livelli “l’acquisizione consapevole” del sistema di numerazione posizionale in base 10 e può fare da “trampolino di lancio“ per apprendere la numerazione in qualunque base.

Nella didattica usuale si dà giustamente importanza al valore posizionale delle cifre nel numero, ma ci si ferma poi alla sola decomposizione dei numeri in unità, decine, centinaia,… in modo da riportare tutto alle unità. Questo spesso provoca la formazione di immagini mentali prive di contenuto concettuale, che consente di fornire risposte solo a domande standard. Nei protocolli sono state ritrovate le decomposizioni standard ma queste, pur essendo corrette, non danno la possibilità di risolvere il problema: fatto di cui molti ragazzi non si sono resi conto. Del resto, nell’insegnamento si insiste quasi esclusivamente sulla “costruzione”, tralasciando la “demolizione”: si passa quasi sempre dall’ordine inferiore (ad esempio unità) a quello superiore (ad esempio decine), più raramente dal superiore all’inferiore.

Un esempio di utilizzo è l’attività sperimentale effettuata con allievi di categoria 5 per verificare quanto essi riuscissero ad individuare le analogie di struttura dei tre problemi Adesivi, Etichette e Il vecchio contachilometri II. Lavorare sulle divisioni, per 10, 100, 1000, …. , con particolare attenzione al resto e al suo valore, può indirizzare gli allievi alla scoperta di strategie risolutive diverse.

I problemi in oggetto possono fornire spunti per far scoprire le relazioni tra i numeri che si ottengono quando si procede allo spostamento delle cifre e, attraverso la modifica delle variabili numeriche, per attività relative alla scrittura dei numeri in basi diverse da quella decimale.

Bibliographie

Crociani C., Spatoloni R., 2005, ‘I problemi del Rally come supporto didattico per l’avvio alla costruzione e al successivo consolidamento del concetto di cifra, numero e notazione posizionale’, Bourg-en Bresse 2004, Arco di Trento 2005, ARMT, IUFM de Lyon – Centre de Bourg en Bresse, IPRASE Trentino, 224-234.

Crociani C., Spatoloni R., 2006, ‘Ancora problemi sul concetto di cifra-numero-posizionalità’, Parma 2006, ARMT, Sezione di Parma dell’ARMT-Dipartimento di Matematica dell’Università di Parma, 117-132.

Crociani C., Spatoloni R., 2007, ‘Sui concetti di cifra-numero, numero, valore posizionale’, Bard 2007, ARMT, Sezione Valle d’Aosta dell’ARMT, 143-162.

Crociani C., Spatoloni R., 2008, ‘Cifra-numero… tanti problemi: resoconto di tre anni del Gruppo di Lavoro’, Brigue 2008, ARMT, SCNAT, 99-111.

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