Banca di problemi del RMT
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Calcolare quante volte ”cambiano le cifre” delle unità , delle decine e delle centinaia in un contachilometri a partire da 000 a 127.
Comprendere il funzionamento dell’oggetto “contachilometri” per aiutare a passare dall’oggetto meccanico alla successione dei numeri naturali scritti con tre cifre.
Scrivere i primi numeri 001, 002, 003, 004 … e contare i cambi; rendersi conto che le cifre delle unità cambiano ad ogni passaggio, quelle delle decine una volta su dieci passaggi ecc… poi constatare che da 009 a 010 ci sono due cambi, un “cric” e un “crac”. Verificare anche lo 013 dell’esempio, poi continuare, evidenziando la regola “ ad ogni decina, 11 rumori”.
Passare il centinaio aggiungendo un rumore “rrmt” alla regola precedente.
Effettuare il conteggio finale: 127 “cric”, 12 “crac” e 1 “rrmt”, cioè 140 rumori, o comprendere che i 127 “cric” corrispondono alle unità, i 12 “crac” sono quelli delle decine e l’”rrmt” è quello del passaggio alle centinaia.
numerazione, cifra, unità, decina, centinaia,
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 12 (36%) | 9 (27%) | 6 (18%) | 0 (0%) | 6 (18%) | 33 | 1.36 |
| Cat 4 | 15 (39%) | 4 (11%) | 0 (0%) | 8 (21%) | 11 (29%) | 38 | 1.89 |
| Totale | 27 (38%) | 13 (18%) | 6 (8%) | 8 (11%) | 17 (24%) | 71 | 1.65 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
Analisi a posteriori/ osservazioni su procedure e spiegazioni caratteristiche
La spiegazione più utilizzata, in caso di risposta giusta, è stata quella, prevista dall’analisi a priori, di comprendere che i “cric” sono 127, tanti quante le unità; i “crac” sono 12, quante le decine, gli “rrmt” sono 1, come le centinaia e quindi trovare 140 rumori in tutto.
Una spiegazione originale, rilevata in cat.3, è legata all’utilizzo dei colori; gli allievi hanno scritto tutti i numeri da 1 a 127 cerchiando in ciascuno di essi, con tre colori diversi, le cifre delle unità, delle decine e delle centinaia e sono pervenuti al risultato attraverso il conteggio.
Analisi a posteriori/ osservazioni su difficoltà, ostacoli, errori
Una difficoltà emersa a posteriori e rilevata dagli insegnanti che hanno sperimentato nelle loro classi il problema è la non conoscenza, da parte degli allievi, dell’oggetto “contachilometri” o quanto meno del suo funzionamentononostante siano abituati a viaggiare in macchina fin dalla nascita!
La difficoltà, insita nell’oggetto “contachilometri” e non riscontrabile in altri problemi della stessa famiglia, è quella di non marcare con “un’etichetta” la decima unità ma di riprendere il conteggio da 0 dopo la cifra 9 (la decima unità incrementa di 1 le decine e riporta a 0 le unità). Lavorando con gli oggetti concreti si mantiene “memoria” reale di ciò che si sta facendo: si mette un’etichetta diversa sul primo raggruppamento fatto di 10 e poi un’altra ancora diversa per 10 di questi raggruppamenti, e così via, … Nel contachilometri non c’è “memoria” concreta ma solo teorica, basata cioè soltanto sul concetto di scrittura posizionale dei numeri.
Contare le etichette che occorrono per etichettare 127 oggetti concreti sarebbe stato più semplice che contare gli “scatti” in un contatore! (quest’ultimo implica anche un’ulteriore corrispondenza: suono-segno).
“Fotografare” la situazione dopo 13 km ha portato ad errori
nella versione 3-4, a causa del disegno con i numeri incolonnati, ha indotto ad eseguire una somma che per puro caso conduceva alla soluzione esatta
Errori
Più che altro in cat.3 gli allievi hanno utilizzato la decomposizione standard “127 Km 1rrmt, 2crac, 7cric” (1h, 2 da, 7u) rispondendo 127 o 10 rumori (1+2+7).
Lo stereotipo a cui si fa riferimento è quello, giustamente, del valore posizionale delle cifre, ma ci si ferma alla lettura che riporta tutto ad unità perdendo di vista gli ordini intermedi. Il numero 127 è visto come 1h, 2da, 7u cioè 127 unità, senza considerare che corrisponde anche a 12 da e 7 u cioè 12,7 decine e anche a 1h e 27 u cioè 1,27 centinaia, e così via.3
Questo problema è un valido supporto per verificare a vari livelli “l’acquisizione consapevole” del sistema di numerazione posizionale in base 10 e può fare da “trampolino di lancio“ per apprendere la numerazione in qualunque base.
Nella didattica usuale si dà giustamente importanza al valore posizionale delle cifre nel numero, ma ci si ferma poi alla sola decomposizione dei numeri in unità, decine, centinaia,… in modo da riportare tutto alle unità. Questo spesso provoca la formazione di immagini mentali prive di contenuto concettuale, che consente di fornire risposte solo a domande standard. Nei protocolli sono state ritrovate le decomposizioni standard ma queste, pur essendo corrette, non danno la possibilità di risolvere il problema: fatto di cui molti ragazzi non si sono resi conto. Del resto, nell’insegnamento si insiste quasi esclusivamente sulla “costruzione”, tralasciando la “demolizione”: si passa quasi sempre dall’ordine inferiore (ad esempio unità) a quello superiore (ad esempio decine), più raramente dal superiore all’inferiore.
Un esempio di utilizzo è l’attività sperimentale effettuata con allievi di categoria 5 per verificare quanto essi riuscissero ad individuare le analogie di struttura dei tre problemi Adesivi, Etichette e Il vecchio contachilometri2 . Lavorare sulle divisioni, per 10, 100, 1000, …. , con particolare attenzione al resto e al suo valore, può indirizzare gli allievi alla scoperta di strategie risolutive diverse.
I problemi in oggetto possono fornire spunti per far scoprire le relazioni tra i numeri che si ottengono quando si procede allo spostamento delle cifre e, attraverso la modifica delle variabili numeriche, per attività relative alla scrittura dei numeri in basi diverse da quella decimale.
Ci sono diversi problemi “prossimi” a questo:
Il vecchio contachilometri (II) (cat. 5-6) Variante de Il vecchio contachilometri (I)
Etichette (cat. 3-5) Numero totale di unità, decine e centinaia in 256
Adesivi (cat. 3) Confrontare quale numero è maggiore sapendo che uno è composto da 4 raggruppamenti da 100, 24 da 10 e 22da 1, l’altro da 6 raggruppamenti da 100, 3 da 10 e 31da 1
Le matite del 15° RMT (cat. 5-6) Qual è il numero totale di unità decine, centinaia e migliaia in 2007
Le pietre miliari della via Aurelia (cat. 5-6) Quante pietre miliari ci sono sulla via Aurelia nei 697,330 km dal centro di Roma al confine con la Francia
Pennarelli nuovi (cat. 5-6)
Crociani C., Spatoloni R., 2005, ‘I problemi del Rally come supporto didattico per l’avvio alla costruzione e al successivo consolidamento del concetto di cifra, numero e notazione posizionale’, Bourg-en Bresse 2004, Arco di Trento 2005, ARMT, IUFM de Lyon – Centre de Bourg en Bresse, IPRASE Trentino, 224-234.
Crociani C., Spatoloni R., 2006, ‘Ancora problemi sul concetto di cifra-numero-posizionalità’, Parma 2006, ARMT, Sezione di Parma dell’ARMT-Dipartimento di Matematica dell’Università di Parma, 117-132.
Crociani C., Spatoloni R., 2007, ‘Sui concetti di cifra-numero, numero, valore posizionale’, Bard 2007, ARMT, Sezione Valle d’Aosta dell’ARMT, 143-162.
Crociani C., Spatoloni R., 2008, ‘Cifra-numero… tanti problemi: resoconto di tre anni del Gruppo di Lavoro’, Brigue 2008, ARMT, SCNAT, 99-111.
Crociani C., Spatoloni R., 2015, ‘Spunti di riflessione Sulla scrittura posizionale/ Éléments de réflexion sur l’écriture positionnelle', La Gazzetta di Transalpino/ La Gazette de Transalpie no 4 http://www.armtint.org/fr/le-gazzette-di-transalpino/numero-4/
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