Pennarelli nuovi

Identificazione

Rally: 21.II.12 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambito: NU

Remarque et suggestion

Sunto

In un contesto di scatole di pennarelli, trovare il numero in base 10, che corrisponde esattamente a 85 raggruppamenti completi di primo, secondo e terzo ordine organizzati in base otto.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

La risoluzione di questo problema richiede all’allievo di:

  • padroneggiare la scrittura posizionale: raggruppamenti e cambi
  • saper comporre un numero nei raggruppamenti di diverso ordine 
  • saper risalire dal numero di raggruppamenti di diverso ordine al numero di  unità
  • saper interpretare il valore del resto nella divisione

Per risolvere il problema l’allievo deve:

  • comprendere che il numero dei pennarelli ordinati è un multiplo di 8 perché tutte le scatole sono piene e non
   si hanno pennarelli fuori scatola.
  • comprendere che ogni 8 pennarelli si ha una scatola piccola (sp), ogni 8 sp si ha una scatola media (sm) e 
  ogni 8 sm si ha una scatola grande (sg), ripercorrendo il processo di confezionamento delle scatole. Ad esempio 
  quando si è riempita una scatola media sono state utilizzate 9 scatole (8sp + 1sm) e 64 (= 8 × 8) pennarelli.

Nozioni matematiche

Numerazione, raggruppamenti di vario ordine, divisione euclidea, potenze.

Risultati

//21.II.12//

Punteggi attribuiti su 1857 classi di 18 sezioni

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta e completa (600; 1 sg, 9 sm, 75 sp) con spiegazione chiara e completa del ragionamento seguito
• 3 punti: Risposta corretta e completa con spiegazione poco chiara o con solo verifica
• 2 punti: Risposta corretta e completa senza alcuna spiegazione

    * oppure procedimento ben spiegato ma non è esplicitata la risposta ad una delle due richieste
    * oppure risposta che indica il numero corretto di pennarelli (600), ma solo il numero delle scatole “esterne” (1 sg, 1 sm, 3 sp)
    * oppure procedimento corretto con un errore di calcolo
1 punto:  Inizio di ragionamento corretto 
0 punto:  Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

La strategia più utilizzata è stata la ricerca, per tentativi, a partire dal calcolo delle scatole che servono per completare una scatola grande: 1sc.g+ (8sc.p+1sc.m.)sc.×8 = 73 scatole. A tale scopo, alcuni si sono serviti di una rappresentazione grafica, altri di una tabella ed altri ancora di un’espressione. Escludendo la possibilità di riempire un’altra scatola grande con le 12 (= 85 - 73) scatole rimaste, hanno proseguito riempiendo una scatola media con 8 piccole (9 = 8+1); sono rimaste così 3 (= 12 - 9) scatole piccole. A questo punto hanno contato tutte le scatole piccole e, moltiplicando per 8, calcolato il totale dei pennarelli.

L’ostacolo maggiore per affrontare un problema di questo tipo, secondo noi, è da ricercare nel concetto di “raggruppamenti e cambi” strettamente legato al concetto di divisione con resto: non sempre è così chiaro interpretare sia il quoziente che il resto quando si effettua una divisione.

Questo problema è analogo ai problemi, Il vecchio contachilometri II (11.I.9) o Le matite del 15°RMT (15.II. 8) (in entrambi si hanno raggruppamenti di 10 in 10) ma aggiunge un ulteriore ostacolo: non sono “etichettati” anche i pennarelli e quindi in 85 “scatole” non si tiene conto dei “pennarelli”: le unità.

A titolo di esempio riportiamo alcune risposte, con motivazione, estratte dagli elaborati degli allievi:

risposta 2560: 8+8+1=17 85:17=5 512 sono i pennarelli di una scatola grande e quindi 512x5 = 2560 sono i pennarelli in totale;

risposta 2136: 1 sc grande + 17 sc medie + 67 sc piccole 512 + 1088 + 563;

risposta 680: pennarelli perché 85x8=680;

risposte 43520 o 49640: 512x85 o 73x8x85 con 73=(8x8+8)+1

Indicazioni didattiche

Il problema potrebbe essere utilizzato proprio come consolidamento del concetto di divisione con resto: dare senso al resto nella divisione è fondamentale in molti contesti e non ultimo per passare da un sistema di numerazione in base 10 ad un sistema in qualsiasi altra base.

Da un punto di vista didattico questo problema può servire per familiarizzare sia con la scrittura polinomiale dei numeri in qualunque base, con conseguente consolidamento dell’algebra, sia per fornire un esempio reale di utilizzo di scrittura di numeri in base diversa da 10 (8 in questo caso), con conseguente avvio all’aritmetica (somme, differenze, moltiplicazioni) in una qualunque base, per l’ulteriore rafforzamento del concetto di cifra-numero e posizionalità.

A supporto di ciò possiamo dire che si sarebbe potuto procedere, ma non è stato fatto da nessuno, utilizzando la divisione euclidea (quoziente e resto) o lavorando sulla scrittura polinomiale (in base 8 naturalmente) o utilizzando esclusivamente la base 8 e l’aritmetica in tale base.

Problemi prossimi a questo sono: Il vecchio contachilometri II (11.I.9), Le matite del 15° RMT (15.II. 8), Quante uova! (19.I.8) . I primi due problemi riguardano raggruppamenti di 10 oggetti e quindi si lavora in base 10 mentre l’ultimo riguarda raggruppamenti di 6 oggetti e si può così lavorare in base 6. Inoltre quest’ultimo problema si può considerare, come struttura, inverso ai precedenti nel senso che si fornisce il numero degli oggetti e si richiede il numero dei raggruppamenti.

Problemi analoghi, che intervengono cioè sempre sullo stesso concetto di raggruppare e marcare di volta in volta i raggruppamenti ma inversi rispetto al problema in esame, sono Etichette (7.II.6), Adesivi (13.I.1), Il vecchio contachilometri I (11.I.2).

Per andare più lontano

Riprendendo quanto detto nelle Indicazioni didattiche, riguardo alle strategie che si sarebbero potute attivare, facciamo vedere caso per caso come si sarebbe potuto procedere.

Utilizzando la divisione euclidea:

Sapendo che

- per ogni 8 pennarelli si ha una scatola piccola (scp.) - ogni 8 scatole piccole si ha una scatola media (scm.) e 82 pennarelli - ogni 8 scatole medie si ha una scatola grande (scg.) e 83 pennarelli

In conclusione si ottiene che

- ogni 83 (= 512) pennarelli si utilizza un numero di scatole dato dalla somma di 1sc.g.+ 8sc.m.+ (8.×8)sc.p per un totale di 73sc.. - ogni 82 pennarelli si hanno 1sc.m.+ 8scp. = 9sc. - ogni 8 pennarelli si ha 1 scp.= 1sc.

A questo punto si può procedere con le divisioni

85/73 : quoziente 1, resto 12 (per vedere quante scatole grandi si possono confezionare);

12/9 : quoziente 1, resto 3 (per vedere quante scatole medie si possono confezionare)

3/1 : quoziente 3, resto 0 (per vedere quante scatole piccole si possono confezionare)

Essendo il resto 0 non ci sono pennarelli non inscatolati..

Dedurre così che si possono confezionare 1 scatola grande, 1 scatola media, 3 scatole piccole e 0 pennarelli sciolti e che quindi 1 1 3 0 rappresenta il numero di pennarelli scritto in base 8 (1 1 3 rappresenta il numero di scatole da moltiplicare per 8 per avere il numero di pennarelli); pertanto tale numero, in base 10, sarà 1× 83 + 1× 82 + 3× 8 + 0 = 512 + 64 + 24 = 600

Da completare ... per le notazioni delle potenze

Utilizzando la scrittura polinomiale in base 8:

Se, in base 8, il numero di pennarelli è a b c 0 (le unità sono 0 perché non ci sono pennarelli sciolti) allora 85 rappresenta (in base 10) il numero di raggruppamenti di 8 (le scatole) ad ogni livello.

a b c + a b +a = a·82+ b·8 +c + a·8 + b + a = 85 → a·(82 + 8 + 1) + b·(8 + 1) + c = 85 → 73a + 9b + c = 85

questa equazione ha soluzione solo per a = 1 e quindi 9b + c = 85 – 73 = 12 questa nuova equazione ha soluzione solo per b = 1 e quindi 9 + c = 12 ha per soluzione c = 3 da cui si ricava che il numero di pennarelli espresso in base 8 è a b c 0 = 1 1 3 0 cioè 600 in base 10.

Utilizzando la base 8:

85 scatole e 0 pennarelli fuori scatola equivalgono 1 2 5 “scatole di 8 oggetti” . Gli “oggetti” , di volta in volta, 8 pennarelli (perché non ci sono pennarelli sfusi) oppure scatole di 8 pennarelli oppure scatole di 8 scatole di 8 pennarelli, … e così via.

Il numero di “scatole di 8 pennarelli” è quel numero a b c tale che: a b c + 8 ab + 8 a = 1 2 5 , mettendo tali numeri in colonna ci si rende conto che c + 8 b + 8 a = 5 b + 8 a =2 a =1 da cui, andando a ritroso, si ricava b =1 e c =3.

Così 1 1 3 rappresenta il numero di scatole di 8 pennarelli e quindi per sapere il numero di pennarelli basta moltiplicare tale numero per 1 0 (ovvero il numero 8, in base 8) e quindi il numero totale di pennarelli è 1 1 3 ×8 1 0 = 1 1 3 0 cioè 600 in base 10 (Far notare che, in qualunque base n, moltiplicare per n vuol dire aggiungere uno 0.

Con questo algoritmo si possono fare tuti i conti nella base n senza passaggi alla base 10. Bisogna imparare a fare le operazioni in base diversa da 10 gestendo i riporti ed i prestiti. Qui è davvero importante la distinzione fra cifra e numero, concetto di numero e della sua scrittura!

Nel problema Il vecchio contachilometri II si hanno 140 “rumori” che equivalgono a (140 – 14) +1 = 127 km. (In questo caso c’è un riporto) Nel problema Le matite del 15° RMT si hanno 2007 etichette che equivalgono, a (2007 - 200) + 1 = 1807 + 1= 1808 matite. (anche in questo caso c’è un riporto) Nel problema in oggetto si hanno 1 2 5 scatole (in base 8) che equivalgono a (1 2 5 -8 1 2) = 1 1 3 e cioè 1 1 3 0 pennarelli in base 8 e cioè 600 pennarelli.

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