Le marathon de Transalpie 2013
Identification
Rallye:
21.II.17 ; catégories:
8, 9, 10 ; domaines:
NU,
LRFamilles:
Remarque et suggestion
Résumé
Trouver deux nombres de trois chiffres tels que le premier est le triple du second, les chiffres des deux nombres sont tous différents, la somme des chiffres de chacun est 9.
Enoncé
Tâche de résolution et savoirs mobilisés
- Comprendre que la seconde information (un nombre triple de l'autre) permet d'exclure, pour le dossard de Philippe, tous les nombres qui, multipliés par 3 donnent un nombre supérieur à 999. Donc les nombres possibles pour Philippe doivent être recherchés parmi ceux qui sont supérieurs à 100 et inférieurs à 334.
- Se rendre compte qu’il est possible de réduire la recherche des nombres possibles pour Philippe en se limitant à l’étude de ceux dont la somme des chiffres est 9 (donc divisibles par 9) : 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270, 306, 315, 324, 333.
- Par conséquent les nombres possibles pour Michel s’obtiennent en multipliant les précédents par 3 : 324, 351, 378, 405, 432, 459, 486, 513, 540, 621, 648, 675, 702, 729, 756, 783, 810, 918, 945, 972, 999
- Retenir ceux dont la somme des chiffres est égale à 9. Il reste : 324, 351, 405, 432, 513, 540, 621, 702, 810 pour Michel, et par conséquent : 108, 117, 135, 144, 171, 180, 207, 234, 270 pour Philippe
- Le fait que les chiffres des deux nombres doivent être différents permet de conclure que les seuls numéros de dossards possibles sont 108 pour Philippe et 324 pour Michel.
Ou bien, se rendre compte que les deux nombres sont des multiples de 9 (la somme de leurs chiffres est 9) et en particulier le nombre de Michel est un multiple de 27. Considérer alors les multiples de 27 entre 300 et 1000 et dont la somme des chiffres est égale à 9 :
324, 351, 405, 432, 513, 540, 621, 702, 810 et vérifier comme ci-dessus que seulement 324 = 27 × 12 est le seul qui convient pour Michel.
Ou engager des essais inorganisés pour déterminer les deux numéros de dossards, mais cette démarche laborieuse ne permet pas de conclure à l’unicité de la solution.
Notions mathématiques
chiffre et nombre, ordre, addition, divisibilité par 9
Résultats
2I.II.17
Points attribués sur 722 classes de 15 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|
| Cat 8 | 82 (16%) | 70 (14%) | 91 (18%) | 164 (33%) | 93 (19%) | 500 | 2.23 |
|---|
| Cat 9 | 19 (16%) | 5 (4%) | 24 (21%) | 40 (34%) | 28 (24%) | 116 | 2.46 |
|---|
| Cat 10 | 9 (8%) | 12 (11%) | 25 (24%) | 36 (34%) | 24 (23%) | 106 | 2.51 |
|---|
| Total | 110 (15%) | 87 (12%) | 140 (19%) | 240 (33%) | 145 (20%) | 722 | 2.31 |
|---|
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
- 4 points: Réponses correctes (108-324) avec explication claire qui montre l’unicité de la solution
- 3 points: Réponses correctes (108-324) mais explication peu claire ou qui ne montre pas l’exhaustivité de la recherche ou seulement avec une vérification
- 2 points: Réponses correctes sans explication
ou réponses correctes et une autre solution incorrecte due à un erreur de calcul mais avec raisonnement correct - 1 point: Une seule des deux réponses
ou début de raisonnement correct - 0 point: Incompréhension du problème
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