Les trucs d'André

Identification

Rallye: 16.I.19 ; catégories: 9, 10 ; domaines: NU, AL
Familles:

• ALG - Utiliser un algorithme
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires
• VP - Gérer la valeur positionnelle d'un code

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer un nombre de deux chiffres dont on connaît la somme et la différence avec le nombre formé des chiffres inversés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Écrire les deux nombre sous forme polynomiale. Le nombre pensé “du” (avec d dizaines et u unités) devient P = 10d+u et le nombre retourné “ud” devient R=10u+d.

- Se rendre compte par des essais ou par calcul algébrique, que la somme P + R = 11(u + d) est un multiple de 11 et que la différence P - R = 9(d – u) est un multiple de 9, par des essais ou par calcul algébrique, la différence pouvant être positive ou négative.

Par algèbre : (10d+u)+(10u+d) = 11d+11u = 11(d+u) et : (10d+u)-(10u+d) = 9d-9u = 9(d-u)

- Arithmétiquement, après un plusieurs essais, se rendre compte que l’un des facteurs de chaque somme P + R est la somme des valeurs des deux chiffres (exemple : 77 = 7x11 = (2+5)x11) et, de manière analogue, que l’un des facteurs de chaque différence P - R est la différence des valeurs des deux chiffres (exemple : -27 = -3 x 9 = (2 - 5) x 9 ) et par conséquent on peut trouver mentalement les deux chiffres dont on connaît la somme et la différence, par éliminations successives.

Par exemple si on reçoit les deux indications 88 et 18, on sait que la “somme et la différence des deux chiffres” sont 8 et 2 et que parmi les décompositions de 8 : 8+0, 7+1, 6+2, 5+3, 4+4, ... il ne faut conserver que le couple (5;3) dont la différence est 2 pour savoir que le nombre pensé P est 53.

Autre exemple avec une différence négative : 132 et -36 conduit à la somme 12 et à la différence -4 et l’on peut commencer l’inventaire des décompositions de 12 avec un premier terme plus petit que le second : 5+7, 4+8, pour s’arrêter à ce dernier couple (pour lequel la différence est -4) et obtenir P = 48.

- Algébriquement, il s’agit de résoudre le système de deux équations à deux inconnues d et u, avec d + u = (P + R)/11 et d – u = (P – R)/9. La demi somme donne d et la demi différence donne u, ce qui conduit toujours à un couple unique (d ; u) de deux nombres naturels inférieurs à 10.

- Le truc » d’André est donc le suivant :

• diviser le premier nombre donné par son grand-père par 11, cela donne le résultat S
• diviser le deuxième nombre donné par son grand-père par 9, cela donne le résultat D
• trouver le chiffre d des dizaines en faisant algébriquement la demi somme (S+D)/2
• trouver le chiffre u des unités en faisant algébriquement la demi différence (S–D)/2

- On peut vérifier que le truc d’André marche pour tous les nombres, en considérant les cas particuliers des nombres de deux mêmes chiffres, ou des multiples de 10, ou des nombres d’un chiffre écrits avec un « 0 » comme dizaine.

Exemples :

donc le truc marche encore.

Notions mathématiques

numération, équation

Résultats

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