Navi - bel affichage d'une fiche

Drôle de nombre

Identification

Rallye: 16.I.09 ; catégories: 5, 6 ; domaine: NU
Familles:

Résumé

Déterminer tous les nombres de 5 chiffres différents tels que le troisième chiffre est le produit des deux premiers chiffres et la somme des deux derniers chiffres.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche :

- Considérer les trois conditions simultanées.

- Comprendre que le 0 ne sera jamais utilisé à cause de ses propriétés (il réapparaîtrait deux fois dans les trois premiers chiffres comme facteur et comme produit, ou entraînerait l’égalité du troisième chiffre et d’un des deux derniers chiffres dans l’addition).

- Comprendre que le chiffre central ne peut être ni 1 (dans l’addition on aurait 1 + 0), ni 2 (dans l’addition on aurait 1 + 1, ou 2 + 0), ni 3 (on pourrait faire l’addition, mais pas la multiplication sans répéter des chiffres), ni 4 (comme pour le 3), ni 5 et 7 (on pourrait faire l’addition, mais pas la multiplication sans répéter des chiffres, puisque comme le 3, ce sont des nombres premiers). Il ne peut pas être 9 parce que les chiffres de la multiplication peuvent être seulement 1 et 9 ou bien 3 et 3.

- Comprendre que les chiffres au centre peuvent être seulement 6 ou 8.

- Voir que les seuls produits 2x3=6,3x2=6,2x4=8,4x2=8 peuvent entrer en ligne de compte pour fabriquer le début des nombres candidats, et donner ensuite naissance aux additions respectives suivantes :

  6=5+1; 6=1+5; 8=7+1;8=1+7;8=5+3;8=3+5

En déduire les autres 11 nombres qui satisfont aux conditions imposées, sans compter l’exemple :

  23615, 24817, 24835, 24853, 24871, 32615, 
  32651, 42817, 42835, 42853, 42871.

Ou : une démarche analogue est possible en partant des sommes pour aboutir aux produits.

Notions mathématiques

addition, élément neutre, soustraction, multiplication, systématique

Résultats

16.I.09

Points attribués sur 136 classes de Suisse romande:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 5	27 (38%)	28 (39%)	8 (11%)	4 (6%)	5 (7%)	72	1.06
Cat 6	11 (17%)	21 (33%)	10 (16%)	9 (14%)	13 (20%)	64	1.88
Total	38 (28%)	49 (36%)	18 (13%)	13 (10%)	18 (13%)	136	1.44
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Détermination de tous les nombres (donc 11 réponses ou 12 réponses selon que l'exemple est inclus ou non), avec explication générale de la démarche pour un nombre au moins
3 points: 9 ou 10 nombres trouvés (sans compter l'exemple), avec explication ou les 11 nombres nouveaux sans explication
2 points: 7 ou 8 nouveaux nombres trouvés, avec explication
1 point: Le début de la démarche est correct, avec au moins 3 nombres corrects
0 point: 1 ou 2 exemples corrects ou incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT