La calculatrice de Pascal

Identification

Rallye: 16.I.16 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: OPN
Familles:

• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs
• GEN - Générer et tester des solutions (partielles) possibles
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le nombre de 2 chiffres divisibles par 7 tel que l'on obtienne 24 en trois opérations choisies parmi la division euclidienne par 10 et la prise du double.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Remarquer d’abord que le nombre écrit par Pascal, de deux chiffres et multiple de 7, est l’un des suivants :

  14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98

- Considérer ensuite successivement les deux possibilités pour la première touche pressée : U ou R

a) La touche U appliquée à chacun des nombres de la suite qui précède donnerait :

  1  2  2  3  4  4  5  6  7  7  8  9  9

Pour atteindre 24, il faut appuyer deux fois sur R, c’est-à-dire multiplier par 4. Seul le 6 le permet.

D’où une première solution : Pascal est parti de 63 et a fait URR.

b) La touche R donne d’abord les multiples de 14 suivants :

  28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196

Pour atteindre 24 il faudra utiliser la touche U (puisque tous ces nombres sont plus grands que 24), mais une seule fois (car tous les nombres deviendraient 0 ou 1 si on l’utilisait deux fois).

Avec U suivi de R, seul 126 donne 12 puis 24. D’où une deuxième solution : Pascal est parti de 63 et a fait RUR.

Avec R suivi de U, pour atteindre 24, il faudrait que R donne un nombre entre 240 et 249, ce qui n’est pas possible à partir des nombres de la liste précédente (112 donnerait 224 et 126 donnerait 252). La combinaison R-R-U ne peut pas donner 24.

Ou : Comprendre que, puisque les touches R et U, sont utilisées 3 fois, l’ordre dans lequel elles peuvent se succéder est l’une des huit séquences suivantes: RRR – RRU – RUR – URR – RUU – URU – UUR – UUU.

Parmi les multiples de 7 de deux chiffres (voir liste ci-dessus), chercher ceux qui permettent d’arriver à 24 selon l’une des huit séquences précédentes :

• La séquence RRR (qui revient à multiplier par 8) ne convient pas (le 3 n’est pas dans la liste).
• Aucune séquence où la touche U apparaît 2 ou 3 fois ne peut être prise en compte, car le plus grand nombre possible avec une touche R est 196 et 2 touches U donnent 1 au plus. Il ne reste que les séquences RRU, RUR, URR à examiner.
• RRU (multiplier par 4 et retirer le chiffre des unités) permet de s’approcher de 24, mais sans l’atteindre : 56 x 4 = 224 –> 22 ou 63x4 = 252 –>25.
• RUR ne fonctionne qu’avec 63: 63x2=126–>12–>2x12=24.
• URR,fonctionne aussi avec 63: 63–>6–>6x2x2=24.

Ou: partir de 24, remonter au nombre de départ en inversant les opérations, par une recherche analogue:

• RRR ne convient pas car il faudrait partir de 3 et multiplier par 8, non multiple de 7.
• Comme précédemment on élimine les séquences avec deux ou trois touches U et il reste RRU, RUR et URR.
• RRU ne convient pas : de 24, il faudrait passer par 240, 244, 248 (les seuls divisibles par 4) pour arriver à 60, 61 ou 62, non multiples de 7.
• RUR, convient : de 24, on passe à 12 puis à 120, 122, 124, 126 ou 128 puis à 60, 61, 62, 63, 64 dont l’un, 63 est multiple de 7.
• URR convient : de 24 on passe à 6 puis à un nombre compris entre 60 et 69 multiple de 7, c’est-à-dire 63.

- Conclure que le nombre écrit par Pascal est 63 et que celui-ci peut avoir obtenu 24 de deux manières, en utilisant les séquences de touches spéciales RUR ou URR.

Notions mathématiques

chiffre, notation positionnelle, composition d’opérateurs, combinatoire, raisonnement hypothético-déductif

Résultats

16.I.16

Points attribués sur 74 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Solution correcte et complète (63, deux possibilités : RUR ou URR) avec justifications complètes
• 3 points: Solution correcte et complète, avec explications incomplètes ou qui ne montrent pas l’exhaustivité de la recherche
  ou le nombre 63 est trouvé mais avec une seule séquence de touches et les explications correspondantes
• 2 points: Le nombre 63 est trouvé mais avec une seule séquence de touches et sans explications claires
• 1 point: Début de raisonnement cohérent
• 0 point: Incompréhension du problème

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