Nombres inconnus

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Rallyes: 22.I.01, 06.I.03 ; catégories: 3, 4 ; domaine: NU
Famille:

• OR - Traiter une suite ordonnée de codes

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Résumé

Avec 8 chiffres donnés : 0 ; 7 ; 9 ; 3 ; 5 ; 8 ; 3 ; 6, former quatre nombres de deux chiffres compris entre 25 et 62, sans que deux d’entre eux soient consécutifs.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Prendre connaissance des cartes données, constater qu’il y en a huit. Comprendre que ces cartes peuvent former des nombres si on les pose les unes à côté des autres, que les nombres situés entre 25 et 62, nécessiteront chacun deux cartes. En déduire qu’avec les huit cartes on pourra former quatre nombres compris entre 25 et 62. Cette première tâche exige donc la « traduction » de carte en « élément constitutifs d’un nombre » (ou « chiffre »), puis la prise de conscience que les nombres entre 25 et 62 seront affichés au moyen de deux cartes chacun.

- On peut alors grouper les chiffres (cartes) deux par deux, au hasard, puis procéder par contrôles et éliminations successives,

ou conduire une réflexion préalable sur les chiffres qui pourront se trouver dans les unités et ceux qui pourront se trouver dans les dizaines. Par exemple constater que le 0 sera dans les unités, ainsi que les chiffres 7, 8 et 9 et qu’on a ainsi réparti les 8 chiffres en deux groupes : 3, 3, 5, 6 pour les dizaines, 7, 8, 9, 0 pour les unités. Le 6 devra alors être associé au 0 pour ne pas dépasser 62, les deux 3 aux 7 et 9 pour ne pas avoir de nombres consécutifs et constater qu’il n’y a qu’une association possible : 37, 39, 58 et 60.

Entre ces deux procédures, l’une par essais et éliminations et l’autre par déductions logiques, il y a une grande variété de démarches « intermédiaires » ; les déductions logiques apparaissant au fur et à mesure des essais.

Les savoirs mobilisés sont ceux de la numération : distinction entre chiffre et nombre, connaissance des nombres de deux chiffres, de ceux qui sont compris entre 25 et 62, de la distinction entre chiffre des dizaines et des unités.

Notions mathématiques

nombres, numération de base dix, comparaison, dizaine, unité, différence

Résultats

22.I.01

Points obtenus, sur 848 classes de 15 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les quatre nombres sont trouvés (37, 39, 58, 60) avec une explication sur la manière de choisir les chiffres des dizaines et des unités, conduisant à la quasi certitude de l’unicité de la solution. Par exemple, 7, 8 et 9 ne peuvent pas être des chiffres des dizaines car les numéros sont inférieurs à 62.
• 3 points: Les quatre nombres sont trouvés, avec une explication qui fait état d’une recherche par essais avec éliminations successives, mais ne permet pas de se convaincre qu’il n’y a qu’une solution. Exemple : « Nous avons fait des essais au hasard jusqu’à ce que nous trouvions cette solution »
  ou les quatre nombres (38, 39, 57, 60) avec une explication complète (comme pour 4 pts) mais oubli de contrôler que le couple de nombres 38 et 39 sont consécutifs.
• 2 points: Les quatre nombres sont trouvés, sans explications ou avec des arguments qui « n’expliquent » pas la démarche mentale suivie ; par exemple, « nous avons découpé les nombres et les avons regroupés deux par deux » ou « nous avons assemblé les nombres du plus petit au plus grand … »
  ou les quatre nombres (37, 38, 59, 60) avec ou sans une explication complète (comme pour 4 pts) mais oubli de contrôler que les deux couples 37 et 38 comme 59 et 60 sont des nombres consécutifs.
• 1 point: Réponse où plus de quatre nombres sont présentés (certains chiffres sont utilisés plusieurs fois)
  ou quatre nombres avec des erreurs, ou seulement trois nombres
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Quelques remarques tirées d’une première analyse a posteriori des copies de Suisse romande :

- Les critères ont été respectés, avec quelques précisions et compléments (en rouge)

- Un exemple caractéristique des « 4 points » qui cite explicitement la prise en compte explicite des dizaines et unités : on a pris les grands nombres pour les unités et les petits pour les dizaines

- Quelques exemples d’explications relevés dans les « 3 points » qui ne permettent pas de savoir si les élèves sont certains de l’unicité de leur solution :

• on savait que ça ne pouvait pas être plus grand que 62 et pas plus petit que 25, alors on a mis les nombres ensemble et on a regardé … ;
• ... on a utilisé les plus grands nombres avec les plus petits, mais les chiffres comme 98 ne sont pas possibles car ils sont plus grands que 62 ;
• 37, 39, 58, 60, avec le 6 on ne peut mettre que le 0 seulement ;
• … on a trouvé en prenant les plus petit au début et les plus grands à la fin ;
• ... on a fait par éliminations ;
• … on a essayé plusieurs solutions et on a fini par trouver

- Parmi les 14 copies qui ont reçu « 2 points », on en trouve 4 avec nombres consécutifs et 7 présentant les quatre nombres mais accompagnées « d’ explications » qui n’en sont pas :

• nous avons pris pour faire des nombres ;
• nous avons bien lu la consigne, nous avons regardé les nombres et nous avons trouvé ;
• on a réfléchi longtemps pour finir on a trouvé 39, 58, 37, 60 ;
• 39, 37, 60, 58, on a trouvé avec la calculette

- Quelques exemples pour montrer la variété des copies auxquelles ont été attribué « 1 point » :

• ces nombres sont 35, 38 et le 60 et 109 ;
• 60, 37, 38, 59 ou 30, 38, 57, 69, d’abord nous avons trouvé les petits chiffres et après les plus grands ;
• 30, 33, 35, 37, 39 …57, 60 (recherche exhaustive des nombres entre 25 et 62, avec un oubli) ;
• le résultat est 35, 39, 60 Nous n’avons trouvé que ces nombres-là = 135

- Parmi les « incompréhensions du problème » (0 point) il y a évidemment les feuilles blanches et le recours à des opérations qui témoignent d’une absence de sens : copies où les élèves ont additionné les 8 chiffre pour trouver 41, dont

• nous avons fait à la calculatrice 7 + 0 + 9 …. = 41 ;
• calculs du genre : 7 × 8 = 56 et 6 × 5 = 30 + 9 = 39

- En général, les termes « chiffres » et « nombres » ne sont pas distingués, et, parfois, pour les « 3 points » on peut faire l’hypothèse que les petits nombres pris en premier signifie les petits nombres sont les chiffres des dizaines. (les chiffres des dizaines venant en premier !)

Exploitations didactiques

Le nombre d’échecs à un problème aussi « simple », à première vue, montre l’intérêt qu’il y aurait à reprendre les notions de « chiffre » et de « nombre », souvent confondues : associer les cartes aux « chiffres », montrer qu’elles permettent de représenter des « nombres », qu’on en prenne une seule ou qu’on en assemble plusieurs, etc.

Activités complémentaires :

- Refaire le problème en modifiant les nombres 25 et 62.

- Proposer de faire l’inventaire des nombres de un chiffre, de deux chiffres, de trois chiffres, … qu’on pourrait former avec les huit cartes données. Chercher le plus grand nombre, le plus petit, …

- …