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Banque de problèmes du RMT

nu17-fr

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Nombres inconnus

Identification

Rallyes: 22.I.01, 06.I.03 ; catégories: 3, 4 ; domaine: NU
Famille:

Remarque et suggestion

Résumé

Avec 8 chiffres donnés : 0 ; 7 ; 9 ; 3 ; 5 ; 8 ; 3 ; 6, former quatre nombres de deux chiffres compris entre 25 et 62, sans que deux d’entre eux soient consécutifs.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Prendre connaissance des cartes données, constater qu’il y en a huit. Comprendre que ces cartes peuvent former des nombres si on les pose les unes à côté des autres, que les nombres situés entre 25 et 62, nécessiteront chacun deux cartes. En déduire qu’avec les huit cartes on pourra former quatre nombres compris entre 25 et 62. Cette première tâche exige donc la « traduction » de carte en « élément constitutifs d’un nombre » (ou « chiffre »), puis la prise de conscience que les nombres entre 25 et 62 seront affichés au moyen de deux cartes chacun.

- On peut alors grouper les chiffres (cartes) deux par deux, au hasard, puis procéder par contrôles et éliminations successives,

ou conduire une réflexion préalable sur les chiffres qui pourront se trouver dans les unités et ceux qui pourront se trouver dans les dizaines. Par exemple constater que le 0 sera dans les unités, ainsi que les chiffres 7, 8 et 9 et qu’on a ainsi réparti les 8 chiffres en deux groupes : 3, 3, 5, 6 pour les dizaines, 7, 8, 9, 0 pour les unités. Le 6 devra alors être associé au 0 pour ne pas dépasser 62, les deux 3 aux 7 et 9 pour ne pas avoir de nombres consécutifs et constater qu’il n’y a qu’une association possible : 37, 39, 58 et 60.

Entre ces deux procédures, l’une par essais et éliminations et l’autre par déductions logiques, il y a une grande variété de démarches « intermédiaires » ; les déductions logiques apparaissant au fur et à mesure des essais.

Les savoirs mobilisés sont ceux de la numération : distinction entre chiffre et nombre, connaissance des nombres de deux chiffres, de ceux qui sont compris entre 25 et 62, de la distinction entre chiffre des dizaines et des unités.

Notions mathématiques

nombres, numération de base dix, comparaison, dizaine, unité, différence

Résultats

22.I.01

Points obtenus, sur 848 classes de 15 sections:

Catégorie01234Nb. de classesMoyenne
Cat 391 (25%)84 (23%)120 (33%)53 (14%)20 (5%)3681.53
Cat 4114 (24%)86 (18%)152 (32%)86 (18%)42 (9%)4801.7
Total205 (24%)170 (20%)272 (32%)139 (16%)62 (7%)8481.63
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Quelques remarques tirées d’une première analyse a posteriori des copies de Suisse romande :

- Les critères ont été respectés, avec quelques précisions et compléments (en rouge)

- Un exemple caractéristique des « 4 points » qui cite explicitement la prise en compte explicite des dizaines et unités : on a pris les grands nombres pour les unités et les petits pour les dizaines

- Quelques exemples d’explications relevés dans les « 3 points » qui ne permettent pas de savoir si les élèves sont certains de l’unicité de leur solution :

- Parmi les 14 copies qui ont reçu « 2 points », on en trouve 4 avec nombres consécutifs et 7 présentant les quatre nombres mais accompagnées « d’ explications » qui n’en sont pas :

- Quelques exemples pour montrer la variété des copies auxquelles ont été attribué « 1 point » :

- Parmi les « incompréhensions du problème » (0 point) il y a évidemment les feuilles blanches et le recours à des opérations qui témoignent d’une absence de sens : copies où les élèves ont additionné les 8 chiffre pour trouver 41, dont

- En général, les termes « chiffres » et « nombres » ne sont pas distingués, et, parfois, pour les « 3 points » on peut faire l’hypothèse que les petits nombres pris en premier signifie les petits nombres sont les chiffres des dizaines. (les chiffres des dizaines venant en premier !)

Exploitations didactiques

Le nombre d’échecs à un problème aussi « simple », à première vue, montre l’intérêt qu’il y aurait à reprendre les notions de « chiffre » et de « nombre », souvent confondues : associer les cartes aux « chiffres », montrer qu’elles permettent de représenter des « nombres », qu’on en prenne une seule ou qu’on en assemble plusieurs, etc.

Activités complémentaires :

- Refaire le problème en modifiant les nombres 25 et 62.

- Proposer de faire l’inventaire des nombres de un chiffre, de deux chiffres, de trois chiffres, … qu’on pourrait former avec les huit cartes données. Chercher le plus grand nombre, le plus petit, …

- …

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