Des chiffres ... et encore des chiffres

Identification

Rallye: 22.I.06 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaines: NU, OP
Familles:

• OR - Traiter une suite ordonnée de codes
• OR/DE - Dénombrer des chiffres

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver le nombre de chiffres utilisés pour écrire les nombres de 1 à 260

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Lire et vérifier l’exemple donné des nombres de 1 à 13.

- Distinguer chiffre et nombre : se rendre compte que pour numéroter 260 pages on utilise les 260 nombres naturels de 1 à 260 et que certains de ces nombres sont constitués d’un seul chiffre, d’autres de deux chiffres et d’autres de trois chiffres.

- De la prise de conscience précédente, être convaincu que la réponse devra être supérieure à 260 (cas où tous les nombres seraient de un chiffre) et ne pourra pas dépasser 780 (cas où tous les nombres auraient 3 chiffres).

- Savoir que les nombres de 1 à 9 ont un chiffre, de 10 à 99 deux chiffres et de 100 à 260 trois chiffres et déterminer le « nombre de nombres » de chacune de ces catégories : 9, 90 et 161 en mobilisant la règle de « l’intervalle avec ses limites » pour les deux derniers : 99 – 10 + 1 = 90 et 260 – 100 + 1 = 161.

- Passer au calcul de la somme des trois termes (9 × 1) + (90 × 2) + (161 × 3) = 9 + 180 + 483 = 672

ou : écrire la liste des nombres de 1 à 260 et compter ensuite le nombre de chiffres utilisés. (Cette procédure ne peut aboutir que difficilement à une réponse exacte vu le nombre élevé de chiffres à dénombrer.)

Notions mathématiques

numération, chiffre, nombre, addition, somme, multiplication

Résultats

22.I.06

Points attribués, sur 2224 copies de 22 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (672) avec explications claires (par exemple, à partir de la liste complète des nombres avec dénombrement des chiffres, ou calculs par plages de nombres à un chiffre, deux chiffres ou trois chiffres)
• 3 points: Réponse correcte avec des explications peu claires ou incomplètes

    * ou réponse erronée suite à une seule erreur de dénombrement ou de calcul, mais procédure correcte avec explications claires
2 points:  Réponse correcte sans explication
    * ou réponse erronée suite à deux erreurs de dénombrement ou de calcul, mais procédure correcte avec explications claires
1 point:  Début de recherche correcte 
    * ou réponse 511 (oubli des chiffres des centaines) 
0 point: Incompréhension du problème

Les résultats sont très homogènes d’une section à l’autre et d’une catégorie à l’autre : seuls 20 % des classes ont vraiment pu s’engager dans le problème en trouvant soit la réponse correcte ou une réponse proche, due à une erreur de calcul. La grande majorité (près de 70 %) n’a pas compris le problème.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Selon les analyses de 215 copies de de Franche-Comté de catégorie 6, on a dénombré :

a) 15 (7%) copies avec une réponse correcte, qui distinguent les nombres de 1, 2 et 3 chiffres, du genre : 9 + (90 x 2) + (161 x 3) = 672

b) 15 (7%) copies qui distinguent les nombres de 1, 2 et 3 chiffres, mais font des erreurs dans leur dénombrement : 89 nombres de deux chiffres (99 – 10) et 160 nombres de trois chiffres (260 – 100),

c) 35 (16%) copies avec application de la proportionnalité à partir de l’exemple des 13 premiers nombres et leurs 17 chiffres, en multipliant par 20 pour arriver à 260 nombres et 340 chiffres,

d) 15 (7%) copies qui font apparaître 55 comme résultat de l’opération 6 × 1 + 2 × 2 + 3 × 2 + 1 × 4 + 1 × 5 + …+ 1 × 0 induite par une lecture "littérale" du texte de l’exemple … six fois le chiffre 1, deux fois le chiffre 2, deux fois le chiffre 3 et une fois chacun des autres chiffres 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 0.

e) 135 (63%) copies qui présentent une très grande variété de réponses, feuilles blanches, nombres de chiffres variant de 20 à 5000, sans aucun rapport avec les 260 nombres, etc.

Les taux de réussite sont du même ordre de grandeur dans les autres sections et les deux types d’erreurs mentionnées ci-dessus sous, c) et d) sont très majoritaires, avec des variations d’une section à l’autre.

Les rares procédures consistant à écrire la liste complète des nombres de 1 à 260 et à compter les chiffres utilisés présentent au moins une erreur et en général plusieurs.

Lorsque cette procédure a été adoptée pour les premiers nombres puis a évolué par un comptage des nombres de 1 chiffres, puis de deux chiffres, puis de trois chiffres, on relève de nombreuses erreurs, mentionnées en b).

Pour expliquer l’échec quasi total à ce problème, on en est réduit à faire des hypothèses sur les obstacles que les élèves doivent surmonter pour pouvoir s’engager dans la résolution (obstacles que l’analyse a priori de la tâche avait sous-estimés).

1 L’énoncé d’origine ne proposait pas d’exemple. Lors de l’élaboration du problème, on a jugé qu’un exemple dissiperait les doutes et permettrait aux élèves de bien distinguer les « chiffres » des « nombres ». L’exemple des 13 premières pages, conçu comme une aide, semble avoir constitué un obstacle, par le choix de « 13 » qui est le vingtième de 260 et incite à un raisonnement inadéquat de proportionnalité pour arriver à la réponse erronée 340. On peut reprendre l’hypothèse de la confusion entre chiffre et nombre en proposant un autre exemple, mais mieux présenté.

2 Une hypothèse sur l’obstacle serait d’ordre didactique : les élèves ne perçoivent pas la distinction entre chiffre et nombre parce qu’on ne leur présente jamais de situations où cette distinction est nécessaire.

3 Une hypothèse d’ordre linguistique sur le mot « numéroter », qui fait appel à « numéro » et ne fait pas référence au « nombre » ni aux « chiffres » semble devoir être écartée, vu que les élèves de langue italienne (où les mots « nombre » et « numéro » sont les deux traduits par « numero ») ont rencontré les mêmes difficultés que leurs camarades francophones.

4 Une hypothèse à suivre repose sur le sens que l’élève peut donner à une question du genre « Combien de chiffres … pour numéroter toutes les pages d’un journal, de la page 1 à la page 260 ? ». Peut-il se référer à des « objets », les chiffres ? peut-il se référer à la liste des nombres de 1 à 260 ? Peut-il se référer à ses pratiques d’écriture : lorsqu’il écrit un nombres est-il conscient qu’il trace en réalité plusieurs chiffres ?

Exploitations didactiques

Il est évident que, au vu des résultats obtenus - écrasante majorité des « 0 point » ou « incompréhension du problème » -le problème ne peut pas être proposé à des élèves en mode de résolution autonome. Il faudrait en modifier sensiblement l'énoncé ou donner les exemples sous une autre forme.

Les hypothèses précédentes devraient être vérifiées par l’observation d’élèves en résolution, par un questionnement direct sur leur représentations, par des échanges entre élèves lors de mises en commun.

Pour aller plus loin

Autres problèmes de « dénombrement ou occurrences de chiffres ».

Ce problème se classe dans une famille où la tâche est un dénombrer des chiffres d’une suite de nombres ou en vérifier les occurrences, constituée actuellement des trois problèmes suivants, qui se sont révélés moyennement difficiles.

- Le chiffre le plus utilisé / La cifra più utilizzata (07.II.11 - 6, 7, 8)

Quel est le chiffre le plus fréquent parmi les naturels de 7 à 413, combien de fois apparaît-il

- Chasse aux trois / Caccia al tre (10.I.3 - 3, 4, 5)

Dans quel nombre de la suite des naturels apparaît le chiffre 3 pour la 25e fois

- Chiffres qui manquent / Numeri che non bastano (12.1.4 - 3, 4, 5)

Dénombrement des chiffres “1” dans la suite des nombres naturels de 1 à 116

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