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Banca di problemi del RMT

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Cifre e ... ancora cifre

Identificazione

Rally: 22.I.06 ; categorie: 4, 5, 6 ; ambiti: NU, OP
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Contare o numerare le cifre utilizzate per scrivere i numeri da 1 a 260.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Leggere e verificare l’esempio dato dei numeri da 1 a 13.

- Distinguere cifra e numero: rendersi conto che per numerare 260 pagine si utilizzano i 260 numeri naturali da 1 a 260 e che alcuni di tali numeri sono costituiti da una sola cifra, altri da due cifre e altri da tre cifre.

- Dalla presa di coscienza precedente, convincersi che la risposta dovrà essere superiore a 260 (caso in cui tutti i numeri fossero di una cifra) e non potrà superare 780 (caso in cui tutti i numeri fossero formati da 3 cifre)

- Sapere che i numeri da 1 a 9 hanno una cifra, da 10 a 99 due cifre e da 100 a 260 tre cifre e determinare il « numero di numeri » di ciascuna di queste categorie : 9, 90 e 161, mobilizzando la regola de « l’intervallo con i suoi estremi » per i due ultimi (99 – 10 + 1 = 90 e 260 – 100 + 1 = 161).

- Passare al calcolo della somma dei tre termini (9 × 1) + (90 × 2) + (161 × 3) = 9 + 180 + 483 = 672

Oppure : scrivere l’elenco dei numeri da 1 a 260 e contare in seguito il numero delle cifre utilizzate.

Tale procedura può difficilmente portare ad una risposta corretta visto il grande numero di cifre da contare.

Nozioni matematiche

numerazione, iterazione, cifra, numero, inoltre, somma, moltiplicazione

Risultati

22.I.06

Punteggi attribuiti su 2224 elaborati di 22 sezioni

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 4402 (73%)58 (10%)32 (6%)30 (5%)32 (6%)5540.61
Cat 5370 (63%)94 (16%)41 (7%)35 (6%)43 (7%)5830.78
Cat 6696 (64%)153 (14%)110 (10%)59 (5%)69 (6%)10870.76
Totale1468 (66%)305 (14%)183 (8%)124 (6%)144 (6%)22240.73
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

I risultati sono molto omogenei da una sezione all’altra e da una categoria all’altra. Il 20% delle classi ha veramente potuto impegnarsi nel problema trovando la risposta corretta o una risposta quasi corretta, per un errore di calcolo. La grande maggioranza (68%) non ha capito il problema.

Secondo le analisi di 215 elaborati di Franche-Comté di categoria 6.

a) 15 elaborati (il 7%) presentano una risposta corretta distinguendo i numeri di 1, 2 e 3 cifre, del tipo : 9 + (90 x 2) + (161 x 3) = 672

b) 15 elaborati (il 7%) distinguono i numeri di 1, 2 e 3 cifre, ma fanno errori nel loro conteggio : 89 numeri di due cifre (99 – 10) e 160 numeri di tre cifre (260 – 100),

c) 35 elaborati (il 16%) applicano la proporzionalità a partire dall’esempio dei primi 13 numeri con le loro 17 cifre, moltiplicando per 20 per arrivare a 260 numeri e 340 cifre,

d) 15 elaborati (il 7%) fanno apparire 55 come risultato dell’operazione 6 × 1 + 2 × 2 + 3 × 2 + 1 × 4 + 1 × 5 + …+ 1 × 0 indotta da una traduzione « operativa » del testo « letterale » dell’esempio … sei volte la cifra 1, due volte la cifra 2, due volte la cifra 3 e una sola volta ognuna delle altre cifre 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0.

e) 135 elaborati (il 63%) presentano una grande varietà di risposte, fogli bianchi, numeri di cifre variabili da 20 a 5000, senza alcun rapporto con i 260 numeri, etc..

Secondo le prime analisi delle altre sezioni, le percentuali di riuscita sono dello stesso ordine di grandezza e i due tipi di errore sopra menzionati, c) e d), sono la grande maggioranza, con alcune variazioni da una sezione all’altra. Le rare volte in cui la procedura consiste nello scrivere l’elenco completo dei numeri da 1 a 260 contando poi le cifre utilizzate, si ha almeno un errore e in generale numerosi.

Quando tale procedura è stata adottata per i primi numeri e in seguito si è passati al conteggio dei numeri di una cifra, poi di due cifre, poi di tre cifre, si sono rilevati numerosi errori, menzionati in b).

Per spiegare l’insuccesso quasi totale di tale problema, si sono fatte ipotesi sugli ostacoli che gli allievi dovevano superare per potersi impegnare nella risoluzione (ostacoli che nell’analisi a priori del compito erano stati sottostimati).

1 L’enunciato originale non proponeva esempi. Nel momento dell’elaborazione del problema, si è ritenuto che un esempio avrebbe dissipato i dubbi e permesso agli allievi di distinguere le « cifre » dai « numeri ». L’esempio delle prime 13 pagine, concepito come un aiuto, sembra aver costituito un ostacolo, in parte per la scelta di « 13 », che essendo un ventesimo di 260 induce ad un ragionamento inadeguato di proporzionalità, per arrivare alla risposta errata 340. Si può riprendere l’ipotesi della confusione tra cifra e numero proponendo un altro esempio, ma presentandolo meglio.

2 Un’ipotesi di ostacolo di tipo didattico : gli allievi non percepiscono la distinzione tra cifra e numero perché non si presentano mai loro situazioni nelle quali tale distinzione è necessaria.

3 Sembra che sia da scartare un’ipotesi di tipo linguistico sulla parola « numerare », che richiama la parola « numero » e non si riferisce né a « numero » né a « cifra », dato che gli allievi di lingua italiana (in cui le parole « nombre » e « numéro » sono entrambe tradotte con « numero ») hanno incontrato le stesse difficoltà dei compagni francofoni.

4 Un’ipotesi ulteriore si fonda sul senso che l’allievo può dare ad una domanda del genere : « Quante cifre…per numerare tutte le pagine di un giornale, da pagina 1 a pagina 260 ? ». Può riferirsi a degli « oggetti », le cifre ? Può riferirsi ad un elenco di numeri da 1 a 260 ? Può riferirsi alle sue esperienze di scrittura : quando scrive un numero è consapevole che in realtà egli scrive più cifre ?

Indicazioni didattiche

E’ evidente che, visti i risultati ottenuti - écrasante maggioranza di « 0 punti » o « incomprensione del problema » - il problema non può essere proposto ad allievi in modalità di risoluzione autonoma. Bisognerà modificare notevolmente l’enunciato o dare gli esempi sotto un’altra forma.

Le ipotesi precedenti dovranno essere verificate mediante l’osservazione di allievi durante la risoluzione, mediante domande dirette sulle loro rappresentazioni, mediante scambi tra gli allievi al momento della loro messa in comune.

Per andare più lontano

Altri problemi di « numerazione o conteggi di cifre ».

Tali problemi si classificano in una famiglia in cui il compito consiste nel contare delle cifre di una successione di numeri o nel verificare le occurrences, costituita attualmente dai tre problemi seguenti, che si sono rivelati mediamente difficili.

- La cifra più utilizzata / Le chiffre le plus utilisé (07.II.11 - 6, 7, 8)

Qual è la cifra più frequente nella rappresentazione dei numeri naturali da 7 a 413 e, quante volte appare.

- Caccia al tre / Chasse aux trois (10.I.3 - 3, 4, 5)

In quale numero della successione dei naturali compare la cifra 3 per la 25a volta.

- Numeri che non bastano / Chiffres qui manquent (12.1.4 - 3, 4, 5)

Contare il numero delle cifre “1” nella successione dei naturali da 1 a 116.

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