Caccia al tre

Identificazione

Rally: 10.I.03 ; categorie: 3, 4, 5 ; ambito: NU

Remarque et suggestion

Sunto

Contare la cifra 3 nella successione dei numeri naturali per individuare a quale numero si giunge quando essa compare per la venticinquesima volta.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Elencare la successione dei numeri, oppure solo i numeri contenenti la cifra 3 e fermarsi al numero 131 che la contiene per la venticinquesima volta.

Comprendere che la cifra 3 va considerata qualunque sia il suo valore posizionale.

Comprendere che essa compare “regolarmente” nella posizione delle unità una volta in ogni decina, 10 volte (da 30 a 39) nella posizione delle decine in ogni centinaio, 100 volte (da 300 a 399) nella posizione delle centinaia in ogni migliaio, …

Nozioni matematiche

cifra, numero, numeri naturali, valore posizionale, regolarità, numerazione.

Risultati

10.I.03

Su 200 classi di quattro sezioni

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (131) con la presentazione chiara della ricerca effettuata
• 3 punti: Risposta corretta con presentazione poco chiara della ricerca
• 2 punti: Risposta 131 senza alcun’altra indicazione oppure risposta con un errore nel conteggio (130, 132) con presentazione della ricerca oppure inizio organizzato della ricerca con almeno 20 volte la cifra 3, ma la successione non è completa
• 1 punto: Ricerca incompleta e non organizzata oppure risposta 130 o 132 senza alcun’altra indicazione
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

- La procedura più utilizzata, soprattutto in cat.3, è stata quella di elencare tutti i numeri e via via contare le occorrenze del 3 fermandosi quando si è arrivati a 25 individuando così il numero 131. Alzandosi di categoria, la procedura per elencazione si è raffinata ed il conteggio è stato fatto per decine.

- Nelle spiegazioni gli allievi confondono quasi sistematicamente «numero» e «cifra», anche quando elaborano soluzioni corrette.

- Un ostacolo che a posteriori può essere rilevato è di tipo organizzativo più che concettuale: la ricerca passa attraverso un lungo elenco la cui gestione richiede attenzione oppure una buona dimestichezza del valore posizionale della scrittura dei numeri che può intervenire aiutando il conteggio.

- In alcuni casi la numerazione presente nel testo e riportata a titolo esemplificativo ha indotto a risposte errate: - non considerare la prima cifra 3 ( il conteggio è partito dal numero 13, probabilmente perché è difficile capire che certi numeri sono anche cifre), - somma dei numeri presenti nel testo

- Tra le soluzioni non corrette si evidenzia una grande varietà di errori:

- Dimenticanza o riporto impreciso(disattenzioni o semplici imprecisioni nel conteggio del numero delle cifre 3 con risposta 130 o 132

- Non distinzione delle due cifre “3” nel numero “33”, risposta 132

- Lacune nella numerazione (costruzione errata della successione di numeri e concezioni lacunose del nostro sistema di numerazione. Esempio: conteggio della cifra 3 solo quando compare nelle unità

- Ostacolo semantico presente nel testo (la cifra 3 “per” la 25^ volta) che induce gli alunni ad eseguire una moltiplicazione(3 x 25= 75) oppure a scrivere il numero 3 per ben 25 volte

- Utilizzo e assemblaggio dei dati presenti nel testo con una “certa logica”:

  • 3 x 25 + 12 = 87 (25 volte 3 + 12 = 87) ;
  • «3», «13» e «23» sono cerchiati con le indicazioni corrispondenti «1a volta, 2a volta e 3a volta»;
  • somma dei numeri da 1 a 12 che hanno moltiplicato per 25: numeri 1, 2, 3, ... = 78 x 25 = 1250;
  • il numero 25 unito al numero 3 è uguale a  253, tale risposta seguita da una numerazione che va da 1 a 25, … 253 ;
  • raggruppamenti dei numeri scritti in successione  (per 3, per 12, per 25).

Indicazioni didattiche

Abituare alla ricerca di regolarità nel nostro sistema di numerazione senza cadere nel meccanicismo, perché aiuta in “futuro” a stimare quantità, a rendere più rapido un ragionamento e favorisce l’intuizione.

Dall’analisi a posteriori, in cui si evidenzia la tendenza a considerare la cifra 3 solo quando compare alle unità, emerge la difficoltà nella comprensione del significato di cifra.

Le attività di ricerca di regolarità, oltre ad essere significative dal punto di vista concettuale e dell’apprendimento delle nozioni matematiche, risultano interessanti come proposte “giocose” che stimolano i ragazzi e, quindi, hanno una valenza positiva per un approccio motivato alla matematica “seria”, facendo scattare spesso l’interesse per questa disciplina.

Dall’analisi a posteriori è emerso che l’errore più diffuso è stato determinato da un ostacolo semantico presente nel testo che ha indotto gli alunni ad interpretare la “frase chiave”, “scrivere la cifra 3 per la venticinquesima volta” come se si dovesse “ripetere il numero 3 per venticinque volte” e quindi hanno risolto il problema con la moltiplicazione 3 × 25. E’ evidente in questo caso la confusione tra il significato di cifra e quello di numero cardinale. E’ interessante, di conseguenza, rivolgere particolare attenzione alla ricerca di quei meccanismi che fanno scattare certi tipi di risposte istantanee in presenza di particolari espressioni e che impediscono la ricerca di strategie matematicamente corrette che gli allievi sarebbero comunque in grado di condurre, se non fossero da essi “distratti”.

Pensando alla creazione di un percorso che favorisca la formazione e lo sviluppo dei concetti cifra-numero-posizionalità, si ribadisce l’importanza di attività, anche pratico-motorie, di ricerca di regolarità e ritmi, da inserire nella programmazione delle classi prima e seconda di scuola primaria.

Si propone, fin dalla classe terza, di far risolvere diversi problemi simili, con lo stesso livello di difficoltà e, successivamente, di farne inventare altri agli alunni, con gli stessi requisiti concettuali. Proprio quest’ultima attività, che seguirà un lavoro di riflessione svolto collettivamente, consentirà ai bambini di appropriarsi con sicurezza del concetto e, nello stesso tempo, permetterà all’insegnante di verificare se tale concetto sia stato completamente interiorizzato; se così non fosse sarebbe il punto di partenza per ulteriori attività di gioco, riflessione e consolidamento.

A tale proposito è stata già svolta una attività sperimentale descritta in Crociani C., Spatoloni R., 2007, pp. 153-155, con l’ulteriore obiettivo di capire se gli allievi sono in grado di riconoscere le analogie di struttura nei problemi e di attivare strategie efficaci dimostrando così di essersi appropriati del concetto.

Per andare più lontano

Un’ attività interessante da proporre è quella del cambio di variabili che è sempre indicata per vedere quanto gli alunni riescono ad entrare sempre più nella struttura del problema e di conseguenza nel concetto di posizionalità nella nostra scrittura dei numeri.:

• Cambiare la variabile “cifra 3” con una qualunque altra cifra facilita il conteggio in qualche caso? (Cosa succede ad esempio con la cifra 0?)

• Aumentando il numero delle occorrenze si stimola l’attivazione di strategie non ridotte ad un elenco

• Proporre ai ragazzi di effettuare dei cambiamenti significativi di variabile .

Tra i “problemi prossimi” citati qui sotto, Cifre in movimento e Il quaderno del 15 presentano situazioni più complesse rispetto al problema Caccia al tre e richiedono notevole abilità nel destreggiarsi con la combinazione delle cifre, mentre per gli altri problemi è sufficiente eseguire correttamente le numerazioni, magari sfruttando le regolarità, ed effettuare correttamente il conteggio delle cifre.

Numeri dispari (15.F.17 cat. 7 - 10)

Formare numeri dispari maggiori di 9500 e minori di 95000 con le cifre 0, 1, 5, 8, 9

Cifre rosse e nere (15.F.06 cat. 4 - 5)

Contare quanti numeri dispari (neri), e quanti pari (rossi), nei 100 numeri da 0 a 99

Nastro dei numeri (14.II.04 cat. 3 - 5)

Cancellare la cifra 7 nei numeri da 1 a 120. Contare il numero delle caselle vuote e di quelle con una sola cifra

Cifre in movimento (12.II.16 cat. 7 - 8)

Trovare tutti i numeri possibili, in modo tale che, dopo aver scambiato tra loro le cifre di unità e migliaia, decine e centinaia, centinaia e unità, migliaia e decine, la somma dei due numeri ottenuti dia come risultato 9613

Numeri che non bastano (12.I.04 cat. 3 - 5)

Contare le occorrenze della cifra 1 nei numeri da 1 a 116. Sottrarre le 25 cifre già possedute

Il quaderno del 15 (08.I.13 cat. 6 - 8)

Ricercare il più piccolo numero la cui somma delle cifre è 15. Ricercare quanti sono i numeri più piccoli di 1000, che hanno 15 come somma delle cifre

La cifra piu'utilizzata (07.II.11 cat. 6 - 8)

Trovare la cifra che compare il maggior numero di volte nei numeri da 7 a 413. Dire quante volte compare

Notto insonni (14.F.12 cat. 6 - 8)

Trovare la regolarità che si verifica nella corrispondenza tra la successione numerica e la sequenza delle dita della mano come viene effettuata dal nonno, il quale parte dal pollice e procede, a seguire, in avanti e indietro, senza mai ripetere successivamente lo stesso dito. Trovare il dito corrispondente al numero 152 e quello corrispondente al numero 3251

Bibliografia

- Crociani C., Spatoloni R., 2005, ‘I problemi del Rally come supporto didattico per l’avvio alla costruzione e al successivo consolidamento del concetto di cifra, numero e notazione posizionale’, Bourg-en Bresse 2004, Arco di Trento 2005, ARMT, IUFM de Lyon – Centre de Bourg en Bresse, IPRASE Trentino, 224-234.

- Crociani C., Spatoloni R., 2006, ‘Ancora problemi sul concetto di cifra-numero-posizionalità’, Parma 2006, ARMT, Sezione di Parma dell’ARMT-Dipartimento di Matematica dell’Università di Parma, 117-132.

- Crociani C., Spatoloni R., 2007, ‘Sui concetti di cifra-numero, numero, valore posizionale’, Bard 2007, ARMT, Sezione Valle d’Aosta dell’ARMT, 143-162.

- Crociani C., Spatoloni R., 2008, ‘Cifra-numero… tanti problemi: resoconto di tre anni del Gruppo di Lavoro’, Brigue 2008, ARMT, SCNAT, 99-111.

- Jaquet F., 2003, “Regolarità nella successione dei numeri naturali: non così evidente per i giovani allievi!”, L’Educazione Matematica n.1, 16-37 …….

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