Banque de problèmes du RMT
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Dénombrer parmi les nombres de 1 à 100 ceux qui s’écrivent seulement avec des chiffres « pairs » ou seulement avec des chiffres « impairs ».
- Interpréter la figure partielle du ruban : le considérer comme l’ensemble des cent nombres d 1 à 100 et non comme une quinzaine de cases avec les cinq premiers nombres, les cinq derniers et un espace permettant d’en placer quatre ou cinq de 6 à 9 ou de 6 à 10.
- Distinguer les mots « nombre » et « chiffre » et se rendre compte que chaque case contient un nombre, mais que certains de ces nombres s’écrivent avec un chiffre, d’autres avec deux chiffres et une autre encore avec trois chiffres.
- Distinguer les chiffres 0, 2, 4, 6, 8 (« pairs ») des chiffres 1, 3, 5, 7, 9 (« impairs ») dans les nombres pour constater que dans certaines cases (ou nombres) les chiffres sont tous « pairs » et qu’il faudra les colorier en rouge, dans d’autres tous « impairs » et à colorier en bleu ou encore que les nombres sont formés des deux types de chiffres et que les cases qui les contiennent ne seront pas coloriées.
- Procéder au dénombrement pour répondre à la question posée, par l’écriture et/ou coloriage des cases des100 nombres (ou cases) et comptage un à un de chaque nombre de Luc et de Richard, et trouver que Luc a colorié en rouge les 24 nombres (2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 20 ; 22 ; 24 ; 26 ; … 80 ; 82 ; 84 ; 88) et Richard a colorié en bleu les 30 nombres (1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; … 91 ; 93 ; 95 ; 97 ; 99).
numération, nombre, chiffre, ruban, suite des nombres naturels
Points attribués, sur 1647 classes de 20 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 379 (80%) | 33 (7%) | 21 (4%) | 6 (1%) | 33 (7%) | 472 | 0.48 |
| Cat 4 | 378 (63%) | 50 (8%) | 52 (9%) | 14 (2%) | 107 (18%) | 601 | 1.04 |
| Cat 5 | 314 (55%) | 50 (9%) | 68 (12%) | 21 (4%) | 121 (21%) | 574 | 1.28 |
| Total | 1071 (65%) | 133 (8%) | 141 (9%) | 41 (2%) | 261 (16%) | 1647 | 0.96 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Le tableau ci-dessus permet de constater que, dans les conditions de passation des épreuves du RMT, la très grande majorité des groupes d’élèves, en particulier en catégorie 3, ne donne pas la réponse attendue et que ce n’est qu’à partir de la catégorie 5 que celle-ci apparaît, dans 20% seulement des copies.
Le premier obstacle est, évidemment, la non distinction entre « chiffre » et « nombre » à la lecture de l’énoncé. Même si les mots « pairs » et « impairs » ne sont pas mentionnés dans le texte, pour plus de la moitié des groupes, la tâche est considérée comme « colorier en rouge les nombres pairs et en bleu les impairs. » avec la réponse « 50 rouges et 50 bleus ».
Le deuxième obstacle est l’interprétation des lignes en pointillé de la figure, pour les élèves de catégorie 3 et parfois de catégorie 4 : le ruban est interprété comme limité à une quinzaine de cases, dont il suffit de compléter les cinq à six centrales.
Au-delà de la confusion entre chiffre et nombre à la lecture, on peut identifier un troisième obstacle : la nécessité d’examiner chaque nombre, chiffre par chiffre, pour se rendre compte qu’il y a des nombres de un, deux ou trois chiffres dans les cases du ruban puis y appliquer les conditions de coloriage, en rouge, en bleu ou encore sans couleur pour les nombres de deux ou trois chiffres.
Les procédures relevées dépendent de la combinaison des obstacles ci-dessus, et d’autres erreurs de comptage.
- La réponse (50 ; 50) est déterminée par un comptage des 100 nombres écrits et coloriés en pairs et impairs avec des erreurs du genre (50 ; 51), (49 ; 50), (47 ; 51) … parfois disposés en tableau. Elle apparaît aussi par des opérations comme 100 : 2 = 50 ou 50 + 50 = 100, …
- La réponse (5 ; 5) est obtenue à partir des dix nombres notés sur le ruban incomplet répartis en pairs et impairs ; au cas où le ruban est complété par cinq ou six nombres, cette réponse est adaptée en conséquence.
- Lorsque les nombres sont analysés chiffre par chiffre c’est la réponse correcte (25 ; 20) qui apparaît, avec quelques erreurs de comptage lorsque tous les nombres sont écrits et coloriés partiellement. Lorsqu’ils sont regroupés en colonne et en tableaux, les erreurs sont plus rares.
- On relève encore les réponses déterminées sur le ruban incomplet, avec analyse chiffre par chiffre, du genre « cinq cases bleues : 1, 3, 5, 97, 99 et deux cases rouges : 2, 4 ».
Lors d’une reprise du problème en classe, la confusion entre chiffre et nombre sera dissipée rapidement lors d’une discussion collective ou par une remarque préalable de l’enseignant afin d’engager les élèves dans la démarche correcte d’analyses chiffre par chiffre.
L’intérêt de la recherche consiste alors à aller au-delà de l’écriture des cent premiers nombres, du coloriage et du comptage qui ne sont que des tâches « mécaniques ». Des procédures plus synthétiques que la simple énumération doivent permettre d’éviter les erreurs de comptage et de faire appel à des opérations.
Par exemple, le regroupement par dizaines permet de distinguer les cas et de constater par exemple que, pour les nombres de deux chiffres, il y a a quatre dizaines dont le premier chiffre est 2, 4, 6, ou 8 et cinq dont le premier chiffre est 1,3, 5, 7 ou 9, etc.
Pour inciter les élèves à s’engager dans ce genre d’analyses, on peut augmenter la longueur du ruban à examiner. Par exemple : faire la recherche sur les dates d’un calendrier.
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