Banque de problèmes du RMT
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Déterminer deux nombres formés des deux mêmes chiffres dont la somme est 99 et la différence est supérieure à 40 et inférieure à 50, dans un contexte de deux bougies sur un gâteau d’anniversaire.
La première tâche, complexe, consiste à passer du contexte de l’anniversaire aux deux nombres cherchés qui sont les âges des deux personnes. A cet effet, il faut comprendre que :
a) les deux bougies sont assimilables à deux chiffres,
b) qu’avec ces deux chiffres on peut composer deux nombres différents,
c) que la somme de ces deux nombres est très proche de 100,
d) et que leur écart est supérieur à 40 et inférieur à 50,
et tenir compte simultanément de ces quatre constatations.
Pour l’adulte, les deux premières ne posent pas de problème, la somme 99 est évidente et conduit aux couples 18 et 81 ; 27 et 72 ; 36 et 63 , 45 et 54 dont on retient 27 et 72 dont la différence, 45 est la seule acceptable.
Pour les enfants, il faut passer des deux dispositions des bougies aux deux âges, puis aux deux nombres dont les chiffres sont permutés.
Pour découvrir 99, il faut interpréter « nous avons presque 100 ans à nous deux » comme la somme des deux nombres, se rendre compte que l’année prochaine, comme chaque nombre aura augmenté de 1 la somme aura augmenté de 2 et dépassera 100.
Pour décomposer 99 en deux nombres « permutés », il faut encore comprendre que la somme du nombre de dizaines et du nombre d’unité de chaque nombre est 9, pour arriver aux décompositions 1 et 8, 2 et 7, 3 et 6, 4 et 5.
Il reste encore à décrypter la phrase « Quand tu es née, j’étais une jeune grand-mère j’avais plus de 40 ans mais pas encore 50 ans » qui fait appel à l’écoulement du temps, qui est le même pour les deux personnes et qui entraîne la constance de l’écart entre leurs âges : c’est-à-dire que à la naissance de Martine (à 0 ans), la grand-mère avait entre 40 à 50 ans et qu’elle en a encore aujourd’hui, 40 à 50 ans de plus.
Sans avoir perçu la somme de 99 et ses décompositions en nombres « inversés », les seules procédures à disposition pour résoudre le problème sont des listes d’essais organisés et des vérifications
numération, chiffre, nombre, nombre de deux chiffres, permutation, somme, différence, âge, inférieur, supérieur
Points attribués, sur 12 copies de la 2e finale internationale du RMT (15.10.2016. Le locle)
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 1 (8%) | 4 (31%) | 3 (23%) | 5 (38%) | 0 (0%) | 13 | 1.92 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Sur les douze copies, six donnent la bonne réponse (27 et 72), une les quatre nombres dont la somme est 99 (18 et 81 ; 27 et 72 ; 36 et 63 ; 45 et 54), une 36 et 63, une 18 et 81, une 25 et 74 ; une 34 et 75 ; la dernière n’arrive pas à déterminer les deux âges.
La majorité des explications ou des traces relevées résultent de procédures par essais partiels, sans jamais tenir compte simultanément des deux conditions sur la somme des âges (99) ou sur la différence (supérieur à 40 et inférieure à 50).
1) Les essais partent d’une différence a priori de 45 ans (comme « le » nombre entre 40 et 50) et envisagent tous les couples (45 ; 0), (46 ; 1), (47 ; 2), (48 ; 3) … jusqu’à (72 ; 27) qui est le premier composé de nombres « permutés », sans aller au-delà.
2) Les essais portent sur les couples de nombres « permutés » à partir de 50 dont le premier se termine par 1 ou par 2. Les cinq premiers sont éliminés, (51 ; 15), (52 ; 25), (61 ; 16), (62 ; 26), (71 ; 17), (72 ; 27) est retenu, les suivants sont éliminés y compris (81 ; 18).
3) 12 –> 21 = 33 ; 13 –> 31 = 44 … 17 –> 71 = 88 ; 18 –> 81 = 99 ça marche Avec le commentaire : Nous avons inversé les chiffres pour que le résultat soit proche de 100 c’est-à-dire 99. Puis la démarche est reprise pour arriver à 27 et 72 ; 36 et 63 ; 45 et 54.
Dans les quelques cas sans essais visibles ou mentionnés, la réponse est seulement accompagnée de l’addition des deux nombres. dontla somme est 99 et de la soustraction qui donne 45, ou de l’addition des âges de l’année suivante dont la somme est 101.
Les réponses erronées sont en général accompagnées de raisonnements qui font état d’une prise en compte partielle des contraintes.
Par exemple, avec la condition 99, mais sans celle des nombres « permutés » :
- Visto che, quando Martina è nata, Teresa non aveva ancora 50 anni, abbiamo intuito che Teresa avesse 49 anni quando è nata Martina. Facendo molte prove abbiamo capito che da quel evento sono passati 25 anni. Dopo 25 anni Teresa a 74 anni e Martina 25, in due 99. L’anno seguente Teresa ha 75 anni e Martina 26 per un totale di 101.
- Vu que, quand Martine est née, Thérèse n’avait pas encore 50 ans, nous avons eu l’intuition que Thérèse avait 49 ans quand Martine est née. En faisant beaucoup d’essais nou avons compris que depuis ce moment 25 ans sont passés. Après 25 ans Thérèse a 74 ans e Martine 25, les deux 99. L’année suivante Thérèse a 75 ans et Martine 26 pour un total de 101.
La prise en compte simultanée de toutes les caractéristiques de la situation nombres « permutés », somme 99 et différence entre 40 et 50 n’était pas à la portée des 12 classes d’élèves de 10 à 11 ans de la finale internationale (triés sur le volet comme finalistes parmi les finalistes). Il semble donc préférable de proposer le problème à des élèves de catégorie 6 et 7.
Il faut aussi être conscient que ce problème est un défi, à caractère plutôt ludique du type « jeu d’esprit », où la tâche de décryptage est essentielle pour passer de la langue commune aux termes mathématiques : les bougies pour des âges, les nombres « permutés », les âges mis ensemble pour une addition, l’écoulement du temps et la constance des écarts. Il serait dommage de proposer ce problème comme un « devoir » mathématique ordinaire en tentant d’aider les élèves dans la perception des jeux de mots de l’énoncé. Il vaudrait mieux y renoncer que de vendre la mèche, qui est le sel du problème.
La réponse, 27 et 72, n’est de loin pas le but essentiel du problème car elle peut être trouvée par essais, même non organisés rigoureusement. Ce qui est important est la mise en commun des procédés de résolution pour en tirer les relations qui régissent la recherche exhaustive :
- se convaincre que la somme des deux nombres est 99 car elle augmente de 2 chaque année,
- que cette somme correspond à 9 dizaines et 9 unités et que chacun des deux « 9 » est, dans l’addition, une fois la somme du nombre de dizaines du nombre d’origine et du nombre d’unités du nombre « permuté » et une autre fois la somme du nombre d’unités du nombre d’origine et du nombre de dizaines du nombre « permuté » ; et par conséquent que les deux chiffres en présence ne peuvent être que 1 et 8 ; 7 et 2 ; 6 et 3 ; 5 et 4. (on pourrait y ajouter 0 et 9 au cas où on écrirait 9 sous la forme 09 ou 0 dizaine et 9 unités).
- que la condition sur la différence des âges impose le couple 7 et 2.
Le jeu avec les nombres de deux chiffres permutés peut s’étendre à la propriété de leur somme, qui est un multiple de 11 et déboucher sur de nouveaux problèmes, du genre « A a additionné deux nombres de deux chiffres permutés et trouvé 132, B a choisi deux autres nombres de deux chiffres permutés et a trouvé 87. L’un des deux seulement a fait une erreur de calcul. lequel, comment peut-on le savoir? Quels nombres a pu choisir celui qui a additionné correctement ses deux nombres permutés ? »
On rencontre à cette occasion l’algorithme d’addition et la distributivité sous la forme d’un nombre de dizaine additionné au même nombre d’utités est équivalent à 11 fois le nombre.
Des constatations analogues sur l’écart entre deux nombres de deux chiffres permutés conduisent aux multiples de 9, à l’algorithme de la soustraction et à la distributivité.
(c) ARMT, 2016-2024