ARMT

Banca di problemi del RMT

nu22-it

centre

Martina e Terèsa

Identificazione

Rally: 24.F.21 ; categoria: 5 ; ambito: NU
Famiglia:

Remarque et suggestion

Sunto

Determinare due numeri formati dalle due stesse cifre, la somma dei quali è 99 e la differenza è superiore a 40 ed inferiore a 50, in un contesto di due candele su una torta di compleanno.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Il primo compito, complesso, consiste nel passare dal contesto del compleanno ai due numeri cercati che rappresentano l’età delle due persone. Per questo occorre comprendere che :

e tenere conto contemporaneamente di queste quattro considerazioni.

Per l’adulto, le prime due non pongono problemi, la somma 99 è evidente e conduce alle coppie 18 e 81, 27 e 72 ; 36 e 63 ; 45 e 54. Tra queste solo la coppia 27 e 72 ha la differenza di 45, quindi è la sola accettabile.

Per gli allievi occorre passare dalle due disposizioni delle candele alle due età, poi ai due numeri le cui cifre sono permutate. Per scoprire 99, occorre interpretare <> come somma di due numeri e rendersi conto che l’anno prossimo, poiché ogni numero sarà aumentato di 1, la somma aumenterà di 2 e si supererà il 100.

Per decomporre 99 in due numeri nei quali le due cifre sono permutate (permutati?), bisogna inoltre comprendere che la somma tra il numero delle decine e quello delle unità in ciascun numero è 9, per arrivare così alle coppie 1 e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5. Resta ancora da interpretare la frase <> che fa riferimento al trascorrere del tempo, che è lo stesso per due persone e che mantiene costante la distanza tra le loro età: se alla nascita di Martina (0 anni), la nonna aveva tra 40 e 50 anni, anche oggi ella ne ha da 40 a 50 di più.

Senza aver compreso la somma 99 e le sue decomposizioni in numeri “inversi”(con scambio delle cifre), le uniche procedure a disposizione per risolvere il problema sono liste di tentativi organizzati e di verifiche.

Nozioni matematiche

numerazione, cifra, numero, numero di due cifre, permutazione, somma, differenza, età, inferiore, superiore

Risultati

24.F.21

I punteggi attribuiti, su 12 copie della 2e finale internazionale del RMT (15.10.2016 Le Locle)

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 51 (8%)4 (31%)3 (23%)5 (38%)0 (0%)131.92
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri di attribuzione dei punteggi seguenti:

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Sulle dodici copie sei danno la risposta corretta (27 e 72), una le quattro coppie i cui numeri hanno per somma 99 (18 e 81; 27 e 72; 36 e 63; 45 e 54), una 36 e 63, una 18 e 81, una 25 e 74, una 34 e 75; l’ultima non arriva a determinare le due età.

La maggior parte delle spiegazioni o delle tracce rilevate mostrano tentativi parziali, senza mai tenere conto contemporaneamente delle due condizioni sulla somma delle età (99) e sulla differenza (superiore a 40 e inferiore a 50).

In alcuni casi, senza tentativi visibili o indicati, la risposta è accompagnata solamente dall’addizione di due numeri la cui somma è 99 e la differenza 45, oppure dalla somma delle età nell’anno successivo, pari a 101.

Le risposte errate sono in generale accompagnate da ragionamenti che dimostrano che i vincoli sono tenuti in conto solo parzialmente. Per esempio, si tiene conto della condizione 99, ma non della permutazione delle cifre:

Visto che, quando Martina è nata, Teresa non aveva ancora 50 anni, abbiamo intuito che Teresa avesse 49 anni quando è nata Martina. Facendo molte prove abbiamo capito che da quell’ evento sono passati 25 anni. Dopo 25 anni Teresa ha 74 anni e Martina 25, in due 99. L’anno seguente Teresa ha 75 anni e Martina 26 per un totale di 101.

Indicazioni didattiche

La presa in carico di tutte le condizioni della situazione: numeri con cifre permutate, somma dei numeri 99 e differenza compresa tra 40 e 50 non è stata alla portata delle 12 classi di allievi, di 10 - 11 anni, della finale internazionale (classi selezionate come finaliste tra le finaliste).

Sembra pertanto opportuno proporre il problema ad allievi delle categorie 6 e 7.

E’ necessario inoltre essere coscienti che questo problema è una sfida, a carattere piuttosto ludico del tipo “gioco di fantasia” (scherzo), in cui l’interpretazione del testo è essenziale per passare dalla lingua comune ai termini matematici: le candele per (rappresentare) le età e i numeri con le cifre “permutate”, le età da addizionare, lo scorrere del tempo e la differenza costante. Sarebbe inopportuno proporre questo problema come un “compito” matematico ordinario tentando di aiutare gli allievi nella percezione dei giochi di parole dell’enunciato. Sarebbe meglio rinunciarvi piuttosto che svelare il segreto, che è proprio il sale di questo problema.

La risposta, 27 e 72, non è l’obiettivo essenziale del problema poiché può essere trovata per tentativi, anche non rigorosamente organizzati. Ciò che importa è la messa in comune delle procedure risolutive per trarne le relazioni che sorreggono la ricerca esaustiva:

Per andare più lontano

Il gioco con i numeri di due cifre permutate può essere esteso alla proprietà della loro somma, che è un multiplo di 11 e condurre ad un nuovo problema, del genere “A ha addizionato due numeri di due cifre permutate tra loro e ha trovato 132, B ha scelto altri due numeri di due cifre permutate e ha trovato 87. Solo uno dei due ha commesso un errore di calcolo. Quale, come si può sapere? Quali numeri ha potuto scegliere colui che ha addizionato correttamente i suoi due numeri con le cifre permutate tra loro?”

Si scopre in questo caso che con l’algoritmo dell’addizione e la distributività sotto la forma di un numero di decine addizionate allo stesso numero di unità si ottiene un risultato equivalente a 11 volte il totale delle cifre.

Constatazioni analoghe sulla differenza tra due numeri di due cifre permutate, con l’algoritmo della sottrazione e la distributività, portano alla scoperta che il risultato che si ottiene è 9 volte la differenza delle due cifre.

Le considerazioni fatte a posteriori sull’analisi dei protocolli del problema Candeline (11.F.7) hanno messo in evidenza che, didatticamente, può essere utile creare situazioni che spingano gli allievi a scoprire questa regolarità sia per l’acquisizione del concetto di numero e della sua scrittura che, a livello formativo, come sviluppo di atteggiamenti indirizzati alla graduale conquista del linguaggio matematico e del concetto di dimostrazione. Proprio per questi motivi è stato proposto un nuovo problema Compleanni e candeline (16.F.14) del quale si riporta il testo:

Luca e Chiara sono fratello e sorella. Quando è nato Luca suo papà festeggiava il proprio trentaseiesimo compleanno, mentre quando è nata Chiara la mamma festeggiava il proprio trentesimo compleanno. Ci saranno dei compleanni in cui per indicare sulla stessa torta l’età di Luca e quella del papà si potranno utilizzare le medesime due candeline scambiandole semplicemente di posto? E per Chiara e la mamma?

In nessuno dei protocolli di Parma, Riva, Rozzano, Siena, a suo tempo esaminati, è emersa questa proprietà anche se in qualche elaborato si riscontra la risposta giusta per il binomio mamma-Chiara, tuttavia non spiegata soddisfacentemente e, in categoria 10, emerge in alcuni casi la strategia della scrittura polinomiale dei numeri, ma non gestita adeguatamente dal punto di vista algebrico.

Si possono proseguire attività di indagine con i numeri di tre cifre permutate tra loro per scoprire che la loro somma, solo in particolari condizioni, è un multiplo di 111 (Es. mantenendo fissa una posizione, vale per 123+321= 444 o per 234+432= 666; ma non vale per 124+421=545 o 137+731=868 o 316+136=452), mentre la loro differenza è sempre un multiplo di 9.

A livello di scuola primaria attività di questo tipo consentono di utilizzare in maniera “intelligente” gli strumenti di calcolo e permettono di effettuare stime e approssimazioni, sviluppando la capacità di valutare risultati e di spiegare procedure e ragionamenti, a livelli di categoria più alta ( cat. 8-9-10) le scoperte effettuate in maniera empirica (per prove) possono essere tradotte nel linguaggio matematico e dimostrate utilizzando la scomposizione polinomiale.

Qui di seguito riportiamo il quadro completo di cosa succede sia nella somma che nella differenza fra numeri di tre cifre aventi le cifre permutate: Le permutazioni delle cifre in un numero a tre cifre xyz sono sei (la prima è quella identica che lasci il numero invariato):

xzy (scambia decine e unità)

yxz (scambia centinaia e decine)

Le ultime due permutazioni in cui nessuna cifra rimane fissa non evidenziano particolari regolarità

zxy

yzx

Potrebbe essere interessante proporre gli allievi di categorie più alte una ricerca di regolarità in un’attività di questo tipo, raggiungendo sia l’obiettivo di acquisire familiarità con la scrittura polinomiale sia la soddisfazione, attraverso semplici passaggi algebrici, di "dimostrare” qualcosa.

A questo proposito l’analisi a posteriori condotta, con il gruppo NU, a seguito del problema Compleanni e Candeline aveva posto in evidenza errori a livello dimostrativo (dimostrare l’impossibilità mamma-Chiara) e di mancanza di sistematicità nella ricerca. Diventa pertanto interessante indagare perché, anche laddove gli allievi tentano di utilizzare l’algebra, spesso non riescono a gestire fino in fondo questo strumento o non si sentono sicuri e finiscono sempre con il ricorrere alla strategia a “carrarmato” (un lungo elenco di casi dal quale vengono via via eliminati quelli che non vanno bene).

Ritornando al problema Compleanni e Candeline, in alcuni elaborati è presente la scoperta dell’impossibilità mamma-Chiara compatibile con la variabile numerica 30 (anni di differenza fra Chiara e la mamma), ma dimostrata per altra via che non fa emergere la regolarità che volevamo: “…avendo una differenza di età di 30 anni esse avranno sempre per età numeri con le stesse unità e quindi non è possibile lo scambio delle candeline”. Da questa osservazione scaturisce una riflessione (utile per i docenti e da discutere anche con gli studenti) sul fatto che le variabili didattiche influenzano la strategia da utilizzare: se, ad esempio, si cambia la variabile numerica 30 con 32 non è ancora possibile lo scambio ma la spiegazione precedente non è più opportuna.

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