Nombres à deux ou trois chiffres

Identification

Rallye: 24.I.03 ; catégories: 3, 4 ; domaines: NU, LR
Familles:

• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons
• DEN - Dénombrer des objets ou des figures

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver tous les nombres de un, deux ou trois chiffres formés avec un seul des trois chiffres 1, 2, 3, (arrangements sans répétition de 3 objets pris 1 à 1, 2 à 2 ou 3 à 3).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que les différentes façons de former un nombre dépendent des chiffres utilisés et de la position qu’ils occupent (centaine, dizaine ou unité). - Comprendre que chaque chiffre ne peut être utilisé qu’une seule fois dans chaque nombre - Comprendre qu’en prenant les cartes une à une on peut former les trois nombres 1, 2 et 3. - Établir une stratégie qui permet d’inventorier systématiquement toutes les dispositions de deux ou trois cartes pour ne pas perdre de solutions. Par exemple :

• pour les nombres à 2 chiffres, en choisissant pour commencer le « 1 » pour chiffre des dizaines on trouve les deux possibilités de chiffre des unités : 12 et 13
• même chose avec les chiffres 2 et 3 : 21 et 23 ; 31 et 32 pour les nombres à 3 chiffres, en choisissant pour commencer le « 1 » pour chiffre des centaines et en lui associant les nombres à deux chiffres ne comportant par 1, on trouve 123 et 132
• même chose avec les chiffres 2 et 3 : 213 et 231 ; 312 et 321

- Dénombrer les 15 possibilités.

Ou : procéder par essais d’écriture de nombres de un, deux ou trois chiffres en s’assurant de la non-répétition des nombres et en les organisant à la fin pour trouver des nombres manquants.

Notions mathématiques

nombre naturel, chiffre, position, numération, centaine, dizaine, unité, arrangement, combinaison, dénombrement

Résultats

Points attribués, sur 1005 classes de 14 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (15 nombres : 1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321)
• 3 points: Réponse avec une ou deux erreurs (par exemple 15 nombres avec un oubli et une répétition, ou 17 nombres avec deux répétitions)
• 2 points: Réponse avec trois ou quatre erreurs (de 11 à 19 nombres) avec oublis ou répétitions de plusieurs nombres
  ou réponse avec les 12 nombres différents de deux ou trois chiffres (sans avoir pensé aux nombres d’un seul chiffre)
  ou réponse avec les 27 nombres différents composés avec les trois chiffres : 1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 22, 23, … , 333 (sans tenir compte qu’il n’y a qu’une carte par chiffre)
• 1 point: Réponse erronée ou incomplète avec au moins 4 nombres corrects, et pouvant comporter des oublis ou des répétitions
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les observations qui suivent sont tirées de l'analyse de 84 copies de Suisse romande, dont la moyenne des points attribués, (2,7) est très proche de celle de l'ensemble des classes de toutes les sections.

La stratégie la plus fréquente consiste en une recherche systématique des nombres possibles, le plus souvent dans l'ordre croissant, pour les nombres d'un chiffre, ceux de deux chiffres et ceux de trois chiffres. Elle est observée dans à peu près 100 % des " 4 point" ou "3 points" mais on la trouve aussi pour les "2 points et "1 point".

Les procédures par essais et éliminations sont rares.

Le contexte du problème pouvait inciter à une manipulation de cartes, après découpage, mais seuls deux groupes y ont recouru.

Les obstacles ne sont donc pas liés à une méthode de recherche. Ils relèvent de la non prise en compte des contraintes du problème. 14 groupes sur 84, plutôt de catégorie 4 que de catégorie 3, n'ont pas compté les nombres d'un seul chiffre, qui étaient pourtant cités dans l'énoncé du problème. De même 11 groupes sur 84, utilisent plusieurs fois le même chiffre dans un nombre allant parfois à une recherche systématique de toutes les combinaisons (Dans un cas on arrive au millier)

Les oublis ou la répétition de chiffres se retrouvent dans les procédures par essais et éliminations (10 groupe).

Curiosité à signaler: un groupe de catégorie 4 mentionne avec orgueil: "sans calculatrice”. Il semble évident pour eux que, pour répondre à la question "combien peut elle former de nombre" il faut faire un calcul.

Exploitations didactiques

Le problème semble bien adapté aux élèves des catégories auxquelles il a été proposé.

Le texte est simple et ne demande pas d'explications complémentaires de la part de l'enseignant, l’appropriation de la situation est à la charge des élèves, qui doivent ensuite pourvoir confronter leur résultats lors d'une phase de mise en commun.

Le problème a été conçu, entre autres, pour aborder le domaine de la combinatoire élémentaire (arrangements simples). La confrontation des résultats devrait inciter les groupes qui ont procédé par essais et éliminations à comprendre qu'une recherche systématique permet d'arriver à un inventaire complet et sans répétitions.

Ce problème se prête bien aussi aux réflexions et observations des nombres à un, deux ou trois chiffres, pour les distinguer des chiffres. Ces nombres peuvent être ordonnés en ordre décroissant ou croissant (comme l'ont fait spontanément de nombreux groupes), ce qui met en évidence la valeur positionnelle des chiffres qui les composent.

Bibliographie

Voir Les bagues (23.I.07)

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