Numeri a due o tre cifre

Identificazione

Rally: 24.I.03 ; categorie: 3, 4 ; ambiti: NU, LR
Famiglie:

• CO - Cercare combinazioni
• DEN - Contare oggetti o figure

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare tutti i numeri di una, due o tre cifre formati con una sola delle tre cifre 1, 2, 3 (disposizioni senza ripetizione di 3 oggetti dati, presi 1 a 1, 2 a 2 o 3 a 3).

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Capire che i differenti modi di formare un numero dipendono dalle cifre utilizzate e dalla posizione che occupano (centinaia, decine, o unità).

- Capire che ogni cifra può essere utilizzata una sola volta in ogni numero.

- Capire che se si prendono le tre carte una ad una si hanno tre numeri: 1, 2, 3

- Capire che ogni scelta di due o tre cifre permette la scrittura di più numeri diversi.

- Stabilire una strategia che permetta di fare l’inventario sistematico di tutte le disposizioni per non perdere nessuna soluzione. Per esempio,

• Per i numeri a due cifre, scelta, per cominciare, «1» come cifra delle decine ci sono due possibilità per la cifra dell’unità: 12 e 13
• Stessa cosa con le cifre 2 e 3: 21 e 23; 31 e 32
• Per i numeri a tre cifre, scegliere, per cominciare, «1» come cifra delle centinaia e affiancare ad essa i numeri a due cifre che non contengono 1: 123 e 132
• Stessa cosa con le cifre 2 e 3: 213 e 231; 312 e 321

- Contare tutti i numeri ottenuti: 15.

Oppure: procedere per tentativi di scrittura di numeri di una, due o tre cifre, assicurandosi delle non ripetizione dei numeri e organizzandoli alla fine per trovare i numeri mancanti.

Risultati

24e rally

Punteggi attribuiti su 1005 elaborati di 14 sezioni:

Secondo i criteri di attribuzione dei punteggi seguenti:

• 4 punti: Risposta corretta e completa (15 numeri: 1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321)
• 3 punti: Risposta con uno o due errori (per esempio 15 numeri con una dimenticanza e un doppione o 17 numeri con due doppioni ecc…)
• 2 punti: Risposta con tre o quattro errori (da 11 a 19 numeri) dovuti a dimenticanze o ripetizioni di più numeri
  oppure risposta con i 12 numeri diversi di due o tre cifre, senza quelli con una sola cifra
  oppure risposta con i 27 numeri diversi composti con le tre cifre: 1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 22, 23, …, 333 (senza tener conto che c’è solo una carta per cifra)
• 1 punto: Risposta sbagliata o incompleta con almeno 4 numeri corretti con possibili dimenticanze o ripetizioni
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Le osservazioni che seguono provengono da una prima analisi a posteriori di 84 copie della Svizzera Romanda, di cui la media dei punti attribuiti (2.7) è molto vicina alla media sull’insieme delle classi.

La strategia più usata è stata quella di fare una ricerca sistematica di tutti i numeri possibili. Questa strategia ha raggiunto quasi il 100% tra quelli che hanno ottenuto 4 o 3 punti, ma è stata adottata anche dai bambini che hanno poi ottenuto 2 o 1 punto,

Alcuni gruppi hanno iniziato con i numeri a tre cifre, altri con quelli a due cifre e altri ancora sono partiti dai numeri singoli. Tutti però, trovato un punto di partenza, hanno cercato sistematicamente i numeri che mancavano.

Assai pochi, sempre tra quelli che hanno avuto 4 o 3 punti, sono quelli che sono riusciti a trovare tutte le risposte andando per tentativi.

Il contesto del problema, che poteva spingere verso una manipolazione delle carte con possibile ritaglio e posizionamento delle stesse, ha poco influenzato la strategia di risoluzione: solo due gruppi dichiarano di avere utilizzato questa strategia.

La difficoltà quindi non è consistita nell’uso di una metodicità di lavoro, ma nella mancata presa in conto dei vincoli e delle richieste del problema.

Un buon numero di gruppi, 14 su 84, con una maggioranza tra i gruppi di categoria 4 rispetto alla categoria 3, non hanno considerato i numeri formati da una sola cifra, cosa che era esplicitamente richiesta nel testo del problema.

Analogamente il contesto delle tre carte perde di consistenza: molti, 11 gruppi su 84, ripetono la stessa cifra all’interno del numero facendo una ricerca sistematica di tutte le combinazioni possibili con ripetizioni. In un caso si arriva alle migliaia.

Le dimenticanze di numeri o la ripetizione di numeri già scritti si trovano tra quelli che vanno per tentativi (10 gruppi).

Curiosità da segnalare: un gruppo di cat. 4 aggiunge orgogliosamente l’osservazione “senza calcolatrice”; è evidente che la risposta alla domanda “quanti sono” condiziona a pensare che il problema debba essere risolto con un calcolo.

Indicazioni didattiche

Il problema sembra ben adeguato per le categorie per le quali è stato proposto.

Il testo è semplice, chiaro e non necessita di ulteriori spiegazioni da parte dell’insegnante; l’appropriazione e la comprensione sono a carico degli alunni i quali devono essere messi nella condizione di confrontare i risultati per poter discutere sulle diverse risposte.

Il problema è stato ideato per affrontare un aspetto della combinatoria (disposizioni semplici). Il confronto delle varie soluzioni può spingere quei gruppi che hanno operato per tentativi a capire che una ricerca sistematica è conveniente perché permette di trovare tutte le soluzioni senza ripetizioni.

Si presta però molto bene per fare delle considerazioni sui numeri ad una, due o tre cifre, distinguendoli dalle cifre. I numeri possono essere messi in ordine crescente o decrescente (come hanno fatto spontaneamente molti gruppi) cosa che mette in evidenza il valore di posizione delle cifre.

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