Banca di problemi del RMT
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Trovare tutte le possibili coppie di numeri a due cifre in cui la cifra delle decine dell’uno corrisponde alla cifra delle unità dell’altro e viceversa e che differiscono sempre di uno stesso numero.
- Per capire il problema occorre comprendere che ogni anno le loro età cambiano e aumentano di una unità, quindi il prossimo anno avranno 38 e 74 anni, il successivo 39 e 75 anni e così via; che le età avanzano allo stesso ritmo nel tempo e che lo scarto resta costante; la differenza delle età 73 – 37 = 36 resta sempre la stessa.
- Partire, ad esempio, da 0 e 36 o da 10 e 46.
- Si possono costruire due successioni in relazione, del tipo:
Martina 0 … 3 … 4… 15… 26 … 37… 48 … 59 ... 70 ... 81
Marco 36 39… 40… 51… 62 … 73 … 84 … 95 ... 106 ...117
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e trovare così tutte le soluzioni.
- E’ necessario saper limitare le due successioni: 64 e 100 (e numeri superiori) vanno esclusi perché non rispettano la condizione “ numeri a due cifre”; lo stesso 09 e 45 (e numeri precedenti).
- Si può anche osservare che per trovare tutte le età che interessano bisogna ogni volta aggiungere 11 anni a ogni numero della coppia (15,51): (26,62); (37,73); (48,84); (59,95).
Oppure,
- partire dalla differenza 36 fra 73 e 37; cercare i numeri in cui la differenza tra le cifre delle unità è 6 (per es. 11−5 = 6; 12−6 = 6; 13−7 = 6; 14−8 = 6; 15−9 = 6) e poi dedurre che le cifre della decina possono essere ottenute tramite lo scambio con quelle dell' unità. Per esempio, partendo da 14−8 = 6, vedere che 84 e 48 vanno bene.
Oppure,
- escludere tutte le età di Martina minori di 10; tentare di invertire le cifre a partire da 12 e comprendere che la differenza aumenta sempre di 9, fino ad arrivare a 15 e 51, in cui la differenza è veramente di 36. Comprendere che oltre il 15 la differenza aumenta. Passare alla decina seguente, partendo da 23 e trovare 26 e 62, la cui differenza è 36. Si comprende a questo punto che c’è una regolarità; arrivare così alle età indicate nel testo, 37 e 73; le altre età che vanno bene saranno 48 e 84, 59 e 9, poiché ogni volta le età aumentano di 11 (una decina più una unità).
Oppure,
- basandosi sulle caratteristiche della scrittura posizionale in base dieci del numero, supporre che l’età di Marco sia 10a+b e quindi l’età di Martina 10b + a (a e b essendo numeri interi tra 0 e 9 con a > b perché Marco è più vecchio).
- Si deve avere 10a + b = 10b + a + 36, da cui 9(a−b) = 36 e quindi a–b = 4. Il caso b = 0 è escluso perché si devono trovare numeri a due cifre. Si trova dunque b = 1 e a = 5 (15 anni e 51 anni), b = 2 e a = 6 (26 anni e 62 anni), b = 3 e a = 7 (esempio dato nell’enunciato), b = 4 e a = 8 (48 anni e 84 anni), b = 5 e a = 9 (59 anni e 95 anni).
Punteggi attribuiti su 3276 classi di 20 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 194 (14%) | 247 (18%) | 344 (25%) | 284 (21%) | 312 (23%) | 1381 | 2.2 |
| Cat 7 | 85 (8%) | 178 (16%) | 273 (25%) | 227 (21%) | 339 (31%) | 1102 | 2.51 |
| Cat 8 | 47 (6%) | 70 (9%) | 158 (20%) | 190 (24%) | 328 (41%) | 793 | 2.86 |
| Totale | 326 (10%) | 495 (15%) | 775 (24%) | 701 (21%) | 979 (30%) | 3276 | 2.46 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
(c) ARMT, 2017-2024