Les rues de Transalpina

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Rallye: 25.F.12 ; catégorie: ; domaine: NU
Familles:

• OR - Traiter une suite ordonnée de codes
• OR/DE - Dénombrer des chiffres

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Résumé

Déterminer un entier naturel n sachant qu’il faut 672 chiffres pour écrire tous les entiers naturels de 1 à n compris.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre que l’on veut numéroter les maisons d’une rue en utilisant des carreaux de faïence sur lesquels un seul chiffre est écrit.

- Comprendre qu’il faut déterminer le dernier numéro de la rue en sachant que 672 carreaux ont été utilisés, c’est à dire en sachant que 672 chiffres ont été écrits à partir du numéro 1 jusqu’à la fin de la rue.

- Comprendre que le dernier numéro de la rue correspond aussi au nombre de maisons de la rue.

- Procéder par essais, en attribuant un numéro à la dernière maison de la rue. Par exemple :

- Supposer que 50 est le dernier numéro de la rue, dénombrer tous les chiffres utilisés pour écrire les nombres 1 à 50 : 9 nombres à 1 chiffre + 20 (10 nombres à 2 chiffres pour aller à 19) + 20 (10 nombres à 2 chiffres pour aller à 29) + 40 ( 20 nombres à 2 chiffres pour aller à 49) + 2 (chiffres du nombre 50 supposé comme étant le dernier de la rue ) = 91 chiffres : ce qui est trop peu.

- Prendre un nombre plus grand et refaire le compte des chiffres utilisés pour écrire ce nombre et tous ceux qui le précèdent. C’est un processus long qui peut engendrer de nombreuses erreurs de calcul.

Ou bien:

Organiser le comptage des chiffres dans l’écriture des nombres, par exemple :

- Conclure que le nombre cherché est compris entre 201 et 300.

- En déduire qu’il faut calculer la différence 672 - 492 = 180 pour trouver le nombre de chiffres à ajouter à 492 pour atteindre 672.

Et que puisque, dans cet intervalle, les nombres sont des nombres de 3 chiffres, il faut ajouter 180 : 3 = 60 numéros aux 200 premiers pour atteindre un total de 672 chiffres.

- Conclure que le dernier numéro de la rue des Ormes est le 260.

Ou bien:

Procéder par soustractions successives, en partant du nombre de chiffres, par exemple :

• 672 − 9 = 663 donc il y a 9 carreaux avec un numéro à un chiffre qui numérotent les 9 premières maisons,
• 663 − 180 = 483 donc il y a 180 carreaux avec un numéro à deux chiffres qui numérotent les 90 maisons de la 10e à la 99e,
• 483−300 = 183 donc il y a 300 carreaux avec un numéro à trois chiffres qui numérotent les 100 maisons de la 100e à la 199e),
• se rendre compte qu’on ne peut pas numéroter une centaine de maisons supplémentaires avec les carreaux restants et procéder par un comptage de trois en trois (ou effectuer la division 183 : 3) pour dénombrer les dernières maisons (61).

Calculer la somme 9 + 90 + 100 + 61 = 260 qui correspond au nombre de maisons de la rue.

Ou bien:

- Procéder également par soustractions successives, en considérant d’abord les nombres à un et deux chiffres qui numérotent les 99 premières maisons : 672−9 = 663 ; 663−180 = 483, il reste 483 carreaux à utiliser ;

- Diviser ce nombre par 3 pour trouver que dans la rue il y a 161 maisons qui comportent un numéro à 3 chiffres (483 : 3 = 161), ajouter 99 à 161 et conclure qu’il y a 260 maisons dans la rue (99 + 161 = 260).

Notions mathématiques

chiffre, dénombrement

Résultats

25.F.12

Points attribués sur 175 classes de 17 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (260) avec explications claires de la démarche suivie (présentation détaillée des essais effectués, des calculs des chiffres)
• 3 points: Réponse correcte avec des explications peu claires et une présentation incomplète des essais ou des calculs ou une réponse due à une seule erreur de comptage ou de calcul, mais avec une présentation détaillée des essais ou des calculs effectués
• 2 points: Réponse correcte sans explication
  ou procédure correcte avec explications et calculs mais avec 2 ou 3 erreurs de comptage ou de calcul
• 1 point: Début de raisonnement correct (par exemple essai de quelques nombres avec une vérification erronée, ou calcul du total des chiffres utilisés pour écrire les nombres de 1 à 99)
• 0 point: Incompréhension du problème