Le vie di Transalpinia

Identificazione

Rally: 25.F.12 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambito: NU
Famiglie:

• OR - Gestire una successione ordinata di codici
• OR/DE - Trovare il numero di cifre

Remarque et suggestion

Sunto

Determinare un numero naturale n sapendo che per scrivere tutti i numeri naturali da 1 a n occorrono 672 cifre.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Capire che si vogliono numerare le case di una via utilizzando delle mattonelle su ognuna delle quali è scritta una cifra.

- Capire che occorre determinare l’ultimo numero civico sapendo che sono state utilizzate 672 mattonelle, cioè 672 cifre per scrivere tutti i numeri a partire da 1 fino all’ultimo numero della via.

- Capire che l’ultimo numero della via indica anche quanti sono in tutto i numeri civici.

- Procedere per tentativi, ipotizzando un possibile numero come ultimo numero della via. Ad esempio, ipotizzando che l’ultimo numero della via sia 50, calcolare la somma delle cifre che occorrono per scrivere i numeri da 1 a 50: 9 (numeri di una cifra) + 20 (10 numeri di due cifre fino a 19) + 20 (10 numeri di due cifre fino a 29) + 40 (20 numeri di due cifre fino a 49) +2 (cifre del numero ipotizzato come ultimo, cioè 50) = 91 cifre, troppo poche.

- Ipotizzare via via un numero più alto ed effettuare nuovamente il conto delle cifre che occorrono per scrivere tale numero e tutti i numeri a lui precedenti.

Si tratta di un processo lungo, in cui è abbastanza facile che vengano commessi degli errori di calcolo.

Oppure:

Organizzare una ricerca del conteggio delle cifre nella scrittura dei numeri, ad esempio

- Concludere che il numero cercato è compreso fra 201 e 300.

- Dedurre che bisogna effettuare la differenza 672 – 492 = 180 per calcolare il numero di cifre da aggiungere a 492.

Poiché in quell’intervallo i numeri sono formati da tre cifre, 180 : 3 = 60 è il numero da aggiungere a 200 per ottenere il totale di 672 cifre.

- Concludere che Via degli Olmi ha 260 numeri civici.

Oppure:

Procedere per sottrazioni successive:

• 672 − 9 = 663 dunque ci sono 9 mattonelle per i numeri di una cifra e 9 sono i numeri civici corrispondenti,
• 663 − 180 = 483 dunque 180 sono le mattonelle per i numeri di due cifre da 10 a 99 e 90 sono i numeri civici corrispondenti,
• 483 − 300 =183 dunque 300 sono le mattonelle per i numeri di tre cifre da 100 a 199 e 100 sono i numeri civici corrispondenti,
• rendersi conto che non può esserci un altro centinaio, procedere quindi nella ricerca con un conteggio di tre in tre fino a terminare le mattonelle (o fare la divisione 183 : 3= 61) per numerare le ultime case.

Eseguire la somma 9 + 90 + 100 + 61 = 260 che è l’ultimo numero civico.

Oppure:

Procedere allo stesso modo per sottrazioni successive, considerando dapprima i numeri con una e con due cifre che contrassegnano le prime 99 case: 672−9 = 663; 663−180 = 483, restano 483 mattonelle da utilizzare; dividere tale numero per 3 per trovare che nella via ci sono 161 case contrassegnate da un numero di 3 cifre (483 : 3 = 161), aggiungere 99 a 161 e concludere che nella via ci sono 260 case (99 + 161 = 260).

Risultati

25.F.12

Punteggi attribuiti su 175 classi di 17 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (260) con spiegazione chiara del procedimento seguito (dettaglio dei tentativi effettuati, conteggio chiaro del calcolo delle cifre)
• 3 punti: Risposta corretta, ma spiegazione poco chiara e non presenti tutti i calcoli o i tentativi
  oppure risposta errata dovuta ad un solo errore di conteggio o di calcolo, ma spiegazione dettagliata dei tentativi effettuati o dei calcoli
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazione
  oppure procedimento corretto ben spiegato e calcoli, ma due o tre errori di conteggio o di calcolo
• 1 punto: Inizio di ragionamento corretto (ad esempio, provati alcuni numeri possibili, ma verificato che non vanno bene oppure calcolo delle cifre di tutti i numeri da 1 a 99)
• 0 punto: Incomprensione del problema

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