La 60e décimale

Identification

Rallye: 25.F.16 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: NU, OPD, OPQ
Familles:

• CDF - Mettre en relation code fractionnaire et code décimal
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer la 60 e décimale dans le développement périodique de 1/23.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre que la division du nombre 1 par 23 avec la calculatrice donne seulement les premiers chiffres significatifs du quotient décimal (par exemple 11 chiffres) : 0,04347826087 et que le 12e chiffre (7) est un arrondi.

- Comprendre que puisque 23 n’est ni divisible par 2, ni par 5), la division donne un nombre décimal périodique, avec au maximum 22 chiffres dans la période car les restes possibles, 0 étant exclu, sont au maximum 22.

- Effectuer la division de façon à trouver les restes partiels. Vérifier sur la partie du quotient décimal pour laquelle c’est faisable que la succession des chiffres obtenus à la main et celle obtenue avec la calculatrice sont les mêmes. On trouve :

  0,0434782608695652173913

avec la succession suivante des restes :

1, 10, 8, 11, 18, 19, 6, 14, 2, 20, 16, 22, 13, 15, 12, 5, 4, 17, 9, 21, 3, 7 et de nouveau 1.

- Noter que le reste partiel est de nouveau 1 au 22e rang à droite de la virgule (chiffre 3).

Ou bien:

toujours en posant la division, pour éviter des erreurs, on peut s’aider de la calculatrice pour calculer les restes partiels :

  Reste   Quotient  Calcul des restes    Ecriture décimale
                    successifs
     1      0                              0,0
    10      4       100 – 4 × 23 = 8       0,04
     8      3        80 – 3 × 23 = 11      0,043
    11      4       110 – 4 × 23 = 18      0.0434

Et continuer ainsi jusqu’à obtenir un reste identique à un reste déjà trouvé (1)

- Comprendre que la division « se poursuit à l’infini », et qu’il y a une période de 22 chiffres qui est

  0434782608695652173913.

- Constater que cette période commence au chiffre des dixièmes et que par conséquent le 1er chiffre écrit à droite de la virgule, le 23e, le 45e ... sont les mêmes, que le 2e chiffre écrit à droite de la virgule, le 24e, le 46e, le 68e ... sont les mêmes

- Déduire que le 60e chiffre écrit à droite de la virgule sera le chiffre 2 (3 fois la période jusqu’au 66e chiffre et reculer de 6 chiffres pour arriver au 60e ; ou sachant que le reste de 60 : 22 est 16, le chiffre cherché est le 16e chiffre de la période).

Notions mathématiques

notation décimale, développement périodique, division

Résultats

25.F.16

Points attribués, sur 96 classes de 16 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (2) avec la division sans erreur et explications claires et complètes (raisonnement sur la période et le 60e chiffre décimal)
• 3 points: Réponse correcte avec la division sans erreur mais explications incomplètes
• 2 points: Réponse erronée avec la division sans erreur mais erreur dans la détermination du 60e chiffre décimal
  ou réponse erronée due à une ou deux erreurs dans la division, avec explications et détermination correcte du 60e chiffre
• 1 point: Réponse erronée due à plus de deux erreurs dans la division, mais détermination cohérente du 60e chiffre décimal
  ou seulement la division sans erreur
• 0 point: Incompréhension du problème
  ou seulement la division mais avec des erreurs

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