La 60ma cifra decimale

Identificazione

Rally: 25.F.16 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: NU, OPD, OPQ
Famiglie:

• CDF - Mettre en relation code fractionnaire et code décimal
• MUL - Moltiplicare numeri naturali ed effettuare divisioni con resto

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Sunto

Individuare una determinata cifra decimale di un numero periodico a partire da una divisione.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Comprendere che la divisione del numero 1 per 23 mediante la calcolatrice dà solo le prime cifre significative (ad esempio 11 cifre) del quoziente di 1 : 23 (0,04347826087) e che la 12ma (la cifra 7) è un arrotondamento delle cifre decimali che seguono.

- Comprendere che essendo 23 non divisibile né per 2 né per 5, la divisione darà luogo ad un numero decimale periodico semplice, con al massimo 22 cifre nel periodo, dato che i resti possibili, escluso lo 0, sono al massimo 22.

- Effettuare la divisione euclidea trovando i resti parziali. Controllare la successione delle cifre decimali con il numero che compare sulla calcolatrice o partire da questo. Si trova

  0,0434782608695652173913  

con la seguente successione dei resti:

1, 10, 8, 11, 18, 19, 6, 14, 2, 20, 16, 22, 13, 15, 12, 5, 4, 17, 9, 21, 3, 7 e di nuovo 1.

- Notare che il resto parziale è di nuovo 1 alla 22ma cifra decimale (cifra 3).

Oppure:

anche se si esegue la divisione a mano, per evitare errori si può utilizzare la calcolatrice per calcolare i resti parziali:

  Resti   Quozienti    Calcolo resto    Scrittura decimale
                       successivo
    1       0                                  0,0
   10       4          100 – 4 × 23 = 8        0,04
    8       3           80 – 3 × 23 = 11       0,043
   11       4          110 – 4 × 23 = 18       0.0434

E così via fino ad ottenere di nuovo 1 come resto.

- Comprendere che la divisione si «ripete all’infinito» e che il periodo di 22 cifre è

  0434782608695652173913. 

Di conseguenza la 1a, la 23a, la 45a … cifra decimale sono uguali; la 2 a, la 22 a, la 46 a, la 68 a sono uguali.

- Dedurne che la 60ma cifra decimale sarà la cifra 2 (3 volte il periodo dà la 66 ma cifra e per arrivare a 60 se ne tolgono 6; oppure, dato che 60 : 22 ha resto 16, la cifra cercata è la 16 ma cifra del periodo).

Risultati

25.F.16

Punteggi attribuiti su 96 classi di 16 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (2) con la divisione senza errori e con spiegazione chiara e completa (ragionamento sul periodo e sulla 60 ma cifra decimale)
• 3 punti: Risposta corretta con divisione senza errori e spiegazione incompleta
• 2 punti: Risposta errata con divisione senza errori, ma errore nella determinazione della 60 ma cifra decimale
  oppure risposta errata dovuta ad uno o due errori di calcolo nella divisione, con spiegazione e la determinazione coerente della 60 ma cifra decimale
• 1 punto: Risposta errata con più di due errori nella divisione, ma determinazione coerente della 60 ma cifra decimale
  oppure solo la divisione senza errori
• 0 punto: Incomprensione del problema
  oppure solo la divisione con errori