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Banca di problemi del RMT

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La 60ma cifra decimale

Identificazione

Rally: 25.F.16 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: NU, OPD, OPQ
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Individuare una determinata cifra decimale di un numero periodico a partire da una divisione.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Comprendere che la divisione del numero 1 per 23 mediante la calcolatrice dà solo le prime cifre significative (ad esempio 11 cifre) del quoziente di 1 : 23 (0,04347826087) e che la 12ma (la cifra 7) è un arrotondamento delle cifre decimali che seguono.

- Comprendere che essendo 23 non divisibile né per 2 né per 5, la divisione darà luogo ad un numero decimale periodico semplice, con al massimo 22 cifre nel periodo, dato che i resti possibili, escluso lo 0, sono al massimo 22.

- Effettuare la divisione euclidea trovando i resti parziali. Controllare la successione delle cifre decimali con il numero che compare sulla calcolatrice o partire da questo. Si trova 

  0,0434782608695652173913

con la seguente successione dei resti:

1, 10, 8, 11, 18, 19, 6, 14, 2, 20, 16, 22, 13, 15, 12, 5, 4, 17, 9, 21, 3, 7 e di nuovo 1.

- Notare che il resto parziale è di nuovo 1 alla 22ma cifra decimale (cifra 3).

Oppure:

anche se si esegue la divisione a mano, per evitare errori si può utilizzare la calcolatrice per calcolare i resti parziali: 

  Resti   Quozienti    Calcolo resto    Scrittura decimale
                       successivo
    1       0                                  0,0
   10       4          100 – 4 × 23 = 8        0,04
    8       3           80 – 3 × 23 = 11       0,043
   11       4          110 – 4 × 23 = 18       0.0434

E così via fino ad ottenere di nuovo 1 come resto.

- Comprendere che la divisione si «ripete all’infinito» e che il periodo di 22 cifre è 

  0434782608695652173913.

Di conseguenza la 1a, la 23a, la 45a … cifra decimale sono uguali; la 2 a, la 22 a, la 46 a, la 68 a sono uguali.

- Dedurne che la 60ma cifra decimale sarà la cifra 2 (3 volte il periodo dà la 66 ma cifra e per arrivare a 60 se ne tolgono 6; oppure, dato che 60 : 22 ha resto 16, la cifra cercata è la 16 ma cifra del periodo).

Risultati

25.F.16

Punteggi attribuiti su 96 classi di 16 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 819 (34%)10 (18%)14 (25%)4 (7%)9 (16%)561.54
Cat 94 (17%)3 (13%)6 (26%)1 (4%)9 (39%)232.35
Cat 105 (29%)2 (12%)1 (6%)1 (6%)8 (47%)172.29
Totale28 (29%)15 (16%)21 (22%)6 (6%)26 (27%)961.86
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

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