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Banca di problemi del RMTnu28-it |
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Individuare una determinata cifra decimale di un numero periodico a partire da una divisione.
Analisi a priori
- Comprendere che la divisione del numero 1 per 23 mediante la calcolatrice dà solo le prime cifre significative (ad esempio 11 cifre) del quoziente di 1 : 23 (0,04347826087) e che la 12ma (la cifra 7) è un arrotondamento delle cifre decimali che seguono.
- Comprendere che essendo 23 non divisibile né per 2 né per 5, la divisione darà luogo ad un numero decimale periodico semplice, con al massimo 22 cifre nel periodo, dato che i resti possibili, escluso lo 0, sono al massimo 22.
- Effettuare la divisione euclidea trovando i resti parziali. Controllare la successione delle cifre decimali con il numero che compare sulla calcolatrice o partire da questo. Si trova
0,0434782608695652173913
con la seguente successione dei resti:
1, 10, 8, 11, 18, 19, 6, 14, 2, 20, 16, 22, 13, 15, 12, 5, 4, 17, 9, 21, 3, 7 e di nuovo 1.
- Notare che il resto parziale è di nuovo 1 alla 22ma cifra decimale (cifra 3).
Oppure:
anche se si esegue la divisione a mano, per evitare errori si può utilizzare la calcolatrice per calcolare i resti parziali:
Resti Quozienti Calcolo resto Scrittura decimale successivo 1 0 0,0 10 4 100 – 4 × 23 = 8 0,04 8 3 80 – 3 × 23 = 11 0,043 11 4 110 – 4 × 23 = 18 0.0434
E così via fino ad ottenere di nuovo 1 come resto.
- Comprendere che la divisione si «ripete all’infinito» e che il periodo di 22 cifre è
0434782608695652173913.
Di conseguenza la 1a, la 23a, la 45a … cifra decimale sono uguali; la 2 a, la 22 a, la 46 a, la 68 a sono uguali.
- Dedurne che la 60ma cifra decimale sarà la cifra 2 (3 volte il periodo dà la 66 ma cifra e per arrivare a 60 se ne tolgono 6; oppure, dato che 60 : 22 ha resto 16, la cifra cercata è la 16 ma cifra del periodo).
Punteggi attribuiti su 96 classi di 16 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 8 | 19 (34%) | 10 (18%) | 14 (25%) | 4 (7%) | 9 (16%) | 56 | 1.54 |
Cat 9 | 4 (17%) | 3 (13%) | 6 (26%) | 1 (4%) | 9 (39%) | 23 | 2.35 |
Cat 10 | 5 (29%) | 2 (12%) | 1 (6%) | 1 (6%) | 8 (47%) | 17 | 2.29 |
Totale | 28 (29%) | 15 (16%) | 21 (22%) | 6 (6%) | 26 (27%) | 96 | 1.86 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
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