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Sur la planète Numerus

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Rallye: 25.F.20 ; catégorie: 10 ; domaine: NU
Famille:

BN - Utiliser une base de numération autre que dix

Résumé

Déterminer la base d’un système de numération différent du système décimal à partir de la donnée des écritures dans cette base d’un nombre à deux chiffres et du produit de ce nombre par un nombre qui lui est donné en base dix. Le produit s’écrit avec trois chiffres dans la base indéterminée.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Lire le texte et se rappeler ou découvrir les règles d'un système de numérotation de position.

- Comprendre que les deux nombres 23 et 320 écrits dans le système de numération inconnu de base b de la planète représentent 2b + 3 et 3b² + 2b

- Exprimer les relations entre ces deux nombres (heures par jour) et (heures par semaine de 8 jours) : 3b² + 2b = 8 (2b + 3)

Il y a deux façons de trouver b :

- Par essais, organisés ou non, en restreignant la recherche aux bases supérieures ou égales à trois puisque le chiffre 3 apparaît dans l’écriture des nombres. Par exemple :

  en base 4 :   3 × 42 + 2 × 4 = 56  et  8 ( 2 × 4 + 3) = 67    56 ≠ 67
  en base 5 :   3 × 52 + 2 × 5 = 85  et  8 ( 2 × 5 + 3) = 104   85 ≠ 104
  en base 6 :   3 × 62 + 2 × 6 = 120 et  8 ( 2 × 6 + 3) = 120  120 = 120

- Résoudre l’équation 3b² + 2b = 8 (2b + 3) dont les solutions sont 6 et - 4/3 (évidemment pas acceptable)

Par conséquent conclure que les habitants de la planète Numerus ont 6 doigts en tout.

Notions mathématiques

base de de numération, base dix, chiffre

Résultats

25.F.20

Points attribués, sur 17 classes de 6 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 10	3 (18%)	2 (12%)	0 (0%)	4 (24%)	8 (47%)	17	2.71
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (3 doigts à chaque main ou 6 doigts pour les deux mains) avec explications claires (description des essais ou résolution de l’équation)
3 points: Réponse correcte avec explications incomplètes ou peu claires (par exemple sans l’écriture polynomiale du nombre)
2 points: Réponse correcte sans explication
ou réponse erronée (mais sous forme d’un nombre entier) suite à une erreur de calcul et avec explications complètes
1 point: Réponse erronée ou absence de réponse mais début de recherche cohérente (par exemple essais inaboutis mais qui attestent de la compréhension du principe de numération position dans une base donnée).
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT