Banca di problemi del RMT
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Banca di problemi del RMTnu3-it |
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Ricercare quante e quali coppie di numeri consecutivi sono comprese tra 100 e 1000, tenendo conto che entrambi i numeri sono formati soltanto dalle stesse due cifre differenti e che la somma delle sei cifre della coppia è 39.
numerazione, numeri naturali, cifre, somma, numeri consecutivi,
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 148 (44%) | 66 (20%) | 90 (27%) | 15 (5%) | 14 (4%) | 333 | 1.04 |
| Cat 8 | 100 (38%) | 47 (18%) | 62 (24%) | 22 (8%) | 30 (11%) | 261 | 1.37 |
| Cat 9 | 32 (50%) | 12 (19%) | 15 (23%) | 0 (0%) | 5 (8%) | 64 | 0.97 |
| Cat 10 | 9 (19%) | 12 (25%) | 11 (23%) | 5 (10%) | 11 (23%) | 48 | 1.94 |
| Totale | 289 (41%) | 137 (19%) | 178 (25%) | 42 (6%) | 60 (8%) | 706 | 1.22 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
La media ottenuta in questo problema è molto bassa, nonostante i saperi matematici coinvolti dovrebbero essere già acquisiti nelle categorie cui il problema è destinato; non varia significativamente considerando il passaggio di categoria, ciò può essere indice di difficoltà ad impostare un ragionamento organizzato in presenza di vincoli o di scarsa sicurezza nel dominare la struttura dei numeri. (Si veda anche la rubrica “Per andare più lontano”).
Procedure
Tutti coloro che hanno interpretato correttamente il testo ed individuato almeno una delle due soluzioni possibili hanno scoperto che, per ottenere due numeri consecutivi utilizzando solo due cifre, queste devono a loro volta essere consecutive.
A questo punto, alcuni gruppi hanno proceduto “sistematicamente” a formare due numeri di tre cifre utilizzando solo due cifre consecutive e scartando via via quelle coppie in cui la somma delle cifre non era 39.
Altri, correttamente, hanno individuato le cifre da utilizzare dividendo 39 per 6 ottenendo così la media 6,5 del valore numerico delle cifre; tenendo conto del fatto che le due cifre dovevano esser consecutive, hanno dedotto che queste erano 6 e 7.
Molti tra coloro che hanno trovato almeno una soluzione corretta hanno assunto che le due cifre dovessero comparire 3 volte ciascuna (il che è vero con queste variabili numeriche, ma deve essere dimostrato!) e non hanno preso in considerazione coppie di numeri con cinque cifre di un tipo e una dell’altro (ad esempio: 333 e 334, 666 e 667). Forse perché avevano “scoperto” che la somma delle cifre di ciascuno doveva essere rispettivamente 19 e 20 (se i due numeri sono consecutivi e il maggiore non termina con 0, allora anche le somme delle cifre sono consecutive), e né 19 né 20 sono divisibili per 3? Alcuni hanno impiegato questa assunzione aggiuntiva dividendo 39 per 3, deducendo che la somma delle due cifre doveva essere 13 e quindi le cifre (consecutive) 6 e 7.
Altri, di cat.10, hanno impiegato l’algebra, impostando un sistema lineare del tipo (3x + 3y = 39, x + y = 2x + 1. Altri ancora sono partiti da xyx per il primo pettorale e xyy per il secondo con y =x+1 o x-1 ma poi hanno considerato solo y=x+1 ed hanno impostato l’equazione x+(x+1)+x+x+ (x+1) +(x+1)= 39 da cui si ricava x=6 (se avessero impostato anche l’altra equazione x+(x-1)+x+x+ (x-1) +(x-1)= 39 avrebbero ricavato x=7).
In un solo elaborato di cat. 10, tra quelli esaminati, si dimostra l’esistenza di sole due coppie di numeri che soddisfino tutte le condizioni utilizzando l’algebra e un ragionamento corretto.
Ostacoli
- Errata interpretazione della condizione “per scrivere entrambi i numeri sono state utilizzate solo due differenti cifre”, ed in particolare della parola “entrambi”;
- significato del termine consecutivi.
Errori
Dalla correzione dei protocolli è risultato che molti allievi hanno interpretato male la seconda condizione: l’espressione “entrambi i numeri” è stata considerata come “numeri uguali a meno di due cifre consecutive” oppure “numeri con due cifre in comune e che si differenziano solo per la terza (come ad esempio 298 e 299, 397 e 398 496 e 497, 955 e 956, 838 e 839, ecc. ); in tal modo sono state utilizzate in totale 3 o 4 cifre per ogni coppia di numeri; oppure si è inteso che “ciascun numero dovesse essere formato da due cifre diverse”, e si sono così utilizzate tre cifre diverse in totale (ad esempio: 991 e 992, 667 e 668, ecc.). Interruzione della ricerca dopo aver trovato solo una coppia di numeri, invece tutte le precedenti interpretazioni danno luogo a più soluzioni.
Rispetto di una sola clausola, generalmente quella riferita alla somma uguale a 39 [“abbiamo trovato a forza di tentativi il primo numero (la prima coppia 397-398), poi bastava diminuire di 1 nelle centinaia e aggiungerlo nelle decine es. 577-667”]; la spiegazione fornita evidenzia l'approssimazione esistente negli allievi riguardo il concetto cifra-numero-valore posizionale.
Ricerca dei due numeri a partire dall’asserto che le cifre consecutive compaiono esattamente tre volte ciascuna. Con le variabili numeriche del problema questo è vero, ma non è generalizzabile.
Il problema tratta una situazione plausibile e si colloca in un ambito di esperienza sicuramente noto agli allievi. Risulta pertanto interessante sia dal punto di vista matematico che formativo in quanto induce al collegamento matematica e realtà. Può essere utilizzato per diverse finalità:
- comprensione della consequenzialità numerica e delle regolarità nella numerazione;
- consapevolezza del concetto di posizionalità;
- verifica della comprensione di linguaggio specifico;
- considerazione di tutti i vincoli e delle variabili;
- comprensione del significato e dell’utilizzo del resto nella divisione; utilizzo delle equazioni;
- avvio ad una ricerca sistematica ed esaustiva.
(Si veda anche la rubrica “Per andare più lontano).
Problemi “prossimi” a questo (ordinati dal più recente)
Al semaforo (18.II.07 cat.4 - 6) Ricercare numeri tenendo conto di condizioni che li vincolano tra loro: somma e multiplo.
Numero da indovinare (15.I.02 cat.3,4) Ricercare un numero a partire da cinque “indizi” nei quali si devono riconoscere le proprietà che caratterizzano le cifre, intese come numeri, che costituiscono il numero stesso.
Il numero di telefono (14.I.13 cat.6 - 10) Ricercare numeri possibili tenendo conto di condizioni che vincolano tra loro le cifre intese come numeri: pari/dispari, multipli/frazioni, consecutivi
La targa dell'auto (13.I.07 cat.4 - 6) Ricercare le combinazioni realizzabili con cifre differenti tra loro che, intese come numeri, sottostanno ad alcuni vincoli e danno per somma un numero assegnato.
La valigia (12.F.10 cat.5 - 8) Ricercare numeri di 4 cifre nei quali la somma di 3 cifre, intese come numeri, sia 12, cioè il doppio della quarta cifra. Stabilire se il problema ha un’unica soluzione.
Numero sconosciuto (12.I.03 cat.3,4) Ricercare tutte le coppie di numeri di due cifre che si possono ottenere quando le cifre, intese come numeri, diano come somma 11; individuare l’unica coppia per la quale la differenza tra i numeri sia 45.
Il numero di Roger (10.F.15 cat.8) Ricercare un numero decimale di 4 cifre, tenendo conto di condizioni che vincolano tra loro le coppie di cifre, intese come numeri, secondo relazioni di multipli/sottomultipli.
La targa (10.I.12 cat.6,7,8) (cat. 6,7,8) Ricercare un numero di 6 cifre divisibile per 3 le cui cifre, intese come numeri, siano disposte in ordine crescente e, prese a coppie, formino numeri primi.
==a) Considerati gli ostacoli di tipo linguistico evidenziati sono state predisposte due attività per una prima sperimentazione:==
1) Per facilitare la comprensione del testo è stata modificata la frase “per scrivere entrambi i numeri sono state utilizzate solo due differenti cifre” in “per scrivere i due numeri sono state utilizzate in tutto solo due differenti cifre”.
LA MARATONA DI TRANSALPINO (con frase modificata)
Michel e Philippe hanno deciso di iscriversi alla grande Maratona di Transalpino ed hanno appena ricevuto i loro numeri di pettorale.
Si sa che:
- sono due numeri consecutivi maggiori di 100 e minori di 1000;
- per scrivere i due numeri sono state utilizzate in tutto solo due differenti cifre;
- la somma delle sei cifre che compongono i due numeri è 39.
Quali possono essere i due numeri di pettorale di Michel e di Philippe?
Spiegate come li avete trovati.
2) Per eliminare completamente l’ostacolo linguistico è stato proposto un nuovo testo “Numeri di Matricola” da far risolvere alle categorie dalla 5 alla 8.
I NUMERI DI MATRICOLA (Cat. 5, 6, 7, 8)
Pietro si è iscritto all’Università ed ha avuto un numero di matricola di sei cifre. Ha notato che
- il numero formato dalla quarta, quinta e sesta cifra è consecutivo del numero formato dalla prima, seconda e terza cifra
- il numero di matricola ha solo 2 cifre diverse
- la somma delle cifre è 31
Quale può essere il numero di matricola di Pietro?
Spiegate come lo avete trovato.
I risultati della sperimentazione permettono di capire che le difficoltà linguistiche evidenziate sono comunque derivanti sia dalla frase iniziale che dalla corretta accezione del termine consecutivi applicato ai numeri.
==b) Considerati gli errori di tipo logico-dimostrativo è stata proposta ad allievi di categoria 6, 7, 8 e a studenti iscritti al primo anno di Università (Corsi di laurea in Matematica, in Informatica e in Fisica) un’attività che, a partire dalla risoluzione del problema in oggetto, facesse riflettere sulle variabili numeriche in gioco e sulle strategie utilizzabili in relazione ad esse.==
Si riporta, di seguito, l’attività completa con le indicazioni fornite agli insegnanti.
Attività per gli allievi
Risolvete il problema La maratona di Transalpino.
Modificate il testo del problema cambiando la “variabile numerica” (39) della terza condizione “la somma delle sei cifre … ”. Si ottiene ogni volta un nuovo problema.
1) Il nuovo problema ha soluzione se sostituite 39 con a) 15? (b) 37?
Rispondete motivando la vostra risposta in ognuno dei casi.
2) Riuscirete sempre a trovare almeno una soluzione al nuovo problema, qualunque sia il numero che sostituite al 39? Provate a fare qualche esempio.
3) Elencate tutti i possibili numeri che sostituiti a 39 danno luogo ad un nuovo problema che ammetta soluzioni. Motivate le scelte fatte.
4) Se il nuovo problema ha soluzioni, quante ne può avere? Perché?
Indicazioni per gli insegnanti
L'attività proposta è un esempio di lavoro possibile su un problema al di fuori della gara.
• Far lavorare i ragazzi a coppie
In risposta alle varie domande:
1. con somma 15 si hanno i numeri 232 e 233 oppure 322 e 323 con somma 37 si hanno i numeri 666 e 667 con somma 48 non si hanno soluzioni (vedere punto 2)
2. No, convincersi prima con degli esempi, e poi riflettere sul fatto che somma pari non si può mai avere perché i due numeri di tre cifre, dovendo essere consecutivi, sono uno pari ed uno dispari, di conseguenza anche la somma delle cifre che compaiono nella loro scrittura è una pari e una dispari e quindi la somma di tutte e sei le cifre è dispari.
3. I numeri possibili, come somma delle sei cifre in modo che si rispettino tutte le altre condizioni del problema, sono i numeri dispari da 5 a 53 perché:
• avendo a disposizione sei cifre, di cui solo due diverse tra loro e consecutive, la somma minima possibile è 5 ( uno 0 e tutte le altre 1) (110-111; ); (la coppia 000-001, che ha per somma 1 e le coppie 010-101 e 100-101, che hanno per somma 3, non sono accettabili perché non soddisfano la seconda clausola);
• avendo a disposizione sei cifre, di cui solo due diverse tra loro e consecutive, la somma massima possibile è 53 (un 8 e tutte le altre 9) (998-999).
4. Una strategia possibile per trovare le soluzioni al problema: • dividere per 6 la somma delle cifre che compongono i due numeri per trovare il valore medio che ciascuna di esse deve avere, discutere sul resto di questa divisione che permette di ricavare il valore effettivo di ciascuna cifra.
Il resto di questa divisione (sempre diverso da zero) può essere 1-3-5 (dispari perché la somma delle cifre è sempre dispari) ed il numero delle soluzioni dipende dal valore di tale resto:
− con resto 1 o 5 si ha una sola soluzione (resto 1 si ottengono due numeri formati dalle cinque cifre più basse e una più alta; resto 5 al contrario);
− con resto 3 si hanno in generale due soluzioni perché le cifre compaiono esattamente tre volte ciascuna.
5. Un'altra strategia:
• Dividere per 3 la somma delle cifre che compongono i due numeri. Si trova così il valore medio della somma di due qualunque cifre che occorrono nella scrittura del numero. Nel caso in cui la somma sia multiplo di 3, dovendo le cifre essere solo due diverse e consecutive, il valore medio dà proprio la somma delle due cifre diverse.
• Nel caso in cui la somma non sia multiplo di 3, il valore medio della somma dà comunque indicazione sulle due cifre (es. somma=37, si ha: 37/3= 12 resto1e quindi si dovranno cercare due numeri consecutivi che diano somma compresa tra 12 e 13, cioè 6 e 7; i due numeri cercati saranno 666 667)
6. Si può procedere anche algebricamente:
le cifre sono due: x e y e sono consecutive, quindi sia ad esempio y=x+1, lo schema delle soluzioni è:
− xyx xyy → x(x+1)x x(x+1)(x+1) → 6x+3= S(somma delle cifre)→x=(S-3)/6 e quindi sono tutti i numeri che differiscono di 3 dai multipli di 6.
Oppure
− xxx xxy → xxx xx(x+1) → 6x+1=S → x= (S-1)/6 (nella divisione di S per 6 il resto è1).
Oppure
- yyx yyy → (x+1)(x+1)x (x+1)(x+1)(x+1) → 6x+5=S (S-5)/6 (nella divisione di S per 6 il resto è 5)
Poiché i numeri devono essere consecutivi, la somma S deve essere dispari e le occorrenze delle cifre che compaiono possono essere solo dispari (1-5; 5-1; 3-3).
Crociani C., Spatoloni R., 2007, ‘Sui concetti di cifra-numero, numero, valore posizionale’, in L.Grugnetti, F. Jaquet, G. Bellò, R. Fassy, G. Telatin (Eds) RMT fra pratica e ricerca in didattica della matematica/ RMT, entre pratique et recherche en didactique des matematiques. Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, Bard 2007, ARMT, Sezione Valle d’Aosta dell’ARMT, 143-162.
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