ARMT

Banca di problemi del RMT

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Scatole di gessi I

Identificazione

Rally: 26.II.08 ; categorie: 5, 6, 7, 8 ; ambiti: OPN, NU
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Cercare tutti i numeri inferiori a 200 nei quali il numero delle decine è il doppio del numero indicato dalla cifra che rappresenta le unità.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Appropriarsi della situazione: il direttore ha prima attribuito 10 scatole ad ogni classe. Comprendere che il numero delle scatole restanti è uguale alla metà del numero delle classi.

- Dedurne che il numero di classi è un numero pari. Poiché esso è inferiore a 20, il numero delle scatole restanti è un intero inferiore a 10.

- Procedere per tentativi organizzati facendo l’ipotesi di un certo numero di classi. Notare che ogni classe avrà nella prima distribuzione 10 scatole di gessi. Il numero delle scatole acquistate è dunque uguale a 10 volte il numero di classi più la metà di tale numero. Dando successivamente al numero delle classi i valori: 2, 4, ... , 16, 18, ottenere tutti i numeri possibili di scatole che il direttore ha acquistato. Si ottengono così i numeri possibili: 21, 42, 63, 84, 105, 126, 147, 168, 189.

Oppure

- Rendersi conto che il numero delle scatole acquistate è uguale a 10 volte il numero delle classi più la metà di questo numero. Tale numero è della forma n = 10,5 x. Si ottengono di conseguenza i valori possibili per n: 21, 42, 63, 84, 105, 126, 147, 168, 189.

Nozioni matematiche

decine, unità, doppio, metà, cifra, pari, dispari, regolarità, valore posizionale, meno di, numeri naturali, numerazione

Risultati

26.II.08

Punti attribuiti, su 4409 classi di 20 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 5478 (52%)145 (16%)36 (4%)85 (9%)174 (19%)9181.27
Cat 6788 (55%)199 (14%)74 (5%)159 (11%)224 (16%)14441.19
Cat 7517 (42%)148 (12%)92 (8%)141 (12%)321 (26%)12191.67
Cat 8216 (26%)104 (13%)61 (7%)127 (15%)320 (39%)8282.28
Totale1999 (45%)596 (14%)263 (6%)512 (12%)1039 (24%)44091.55
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Le principali procedure utilizzate sono state tre:

- moltiplicare i numeri pari minori di venti (numero delle classi) per dieci (numero scatole intere di gessi in una prima distribuzione) e aggiungere al risultato ottenuto la metà del numero pari iniziale ( abbiamo moltiplicato un numero minore di 20 per 10 e vi abbiamo aggiunto la metà del numero: (n × 10) + (n : 2) o ancora: Per scoprire il numero di scatole si può usare la formula n × 10 + n/2). E questa era la prima delle procedure previste nell’analisi a priori ed in effetti è stata la più usata;

- moltiplicare i numeri pari minori di venti per 10,5 (numero totale teorico di scatole di gessi per classe). Questa era la seconda procedura prevista a priori, in effetti meno usata dalla precedente;

- rendersi conto che il numero 21 gioca un ruolo cruciale nel problema. In questo modo dopo aver trovato il primo dato (189) hanno tolto ventuno ogni volta, ottenendo le nove soluzioni oppure viceversa (anche se pensiamo che questa scoperta di regolarità sia stata notato solo a posteriori dopo aver trovato per tentativi un certo numero di soluzioni e che quindi non sia una vera strategia risolutiva). Questo non era stato previsto a priori.

Errori più frequenti:

Il problema è risultato difficile ma c’è stato un progressivo miglioramento dalla cat. 5 alla cat.8, fatta eccezione per la cat.6 che è sempre una categoria di “transizione”: molti alunni hanno trovato difficoltà nella comprensione del testo, compiendo diversi tentativi prima di capire che il numero delle classi non poteva essere dispari e questo era esplicitato nei primi due punti dell’analisi a priori. Nel secondo punto si diceva anche Poiché esso è inferiore a 20, il numero delle scatole restanti è un intero inferiore a 10. Ma quest’ultima osservazione non l’abbiamo riscontrata in nessun elaborato, mentre questo sarebbe stato indicativo del fatto che avevano trasferito la situazione da un contesto concreto al concetto matematico.

L’errore più diffuso è stato determinato da un ostacolo semantico presente nel testo consegnare ancora la metà di una scatola ad ogni classe così non avanzerebbe alcun gesso che ha indotto gli studenti a non escludere un numero dispari di classi e a confondere spesso il numero delle classi con il numero delle scatole e mezza scatola con mezza decina. Più in dettaglio:

- Considerare un numero pari di classi a ciascuna delle quali vengono dapprima consegnate 10 scatole intere di gessi ma non riuscire a gestire la seconda distribuzione di mezza scatola di gessi per classe:

• moltiplicare per 10 per trovare, giustamente, il numero di gessi consegnato in una prima fase e poi aggiungere il risultato della divisione per il doppio del numero di classi (n∙10 + ( n∙10):2n)= 10n + 5) senza rendersi conto che così si aggiunge sempre 5 cioè mezza decina di scatole e non mezza scatola

• calcolare la metà delle scatole già distribuite e non considerare metà scatola (Ad esempio se ci sono 10 classi, si distribuiscono 100 scatole e per avere il numero totale di scatole si somma 100 alla sua metà ottenendo 150)

• trascurare il vincolo della ulteriore consegna di metà scatola per ogni classe e limitarsi a moltiplicare tutti i numeri da 1 a 19 (compresi i dispari) per 10

• confusione fra numero delle classi e numero delle scatole (es. trovato anche in categoria 8: moltiplicare, correttamente per dieci il numero delle classi, aggiungere a tale risultato la metà del numero delle scatole già distribuite, invece della metà del numero delle classi; ad esempio con 16 classi, si ottiene 160 (= 16 x 10) scatole di gessi + 80 (= 160:2) per un totale di 240 scatole di gessi) e trovare le soluzioni (n∙10 + (n∙10):2 variando il numero delle classi da 1 a 19 senza problemi di parità

- Non capire che le soluzioni potevano essere solo i numeri pari minori di venti, considerando pertanto anche risultati decimali. (es. moltiplicano semplicemente per 10,5 tutti i numeri da 1 a 19 trovando 10,5 ; 21 ; 31,5 ; 42 ; 52,5 ; 63 ; … ; 199,5)

- Dimenticare il dato 10 (numero di scatole intero consegnato a ciascuna classe) e moltiplicare il numero delle classi per la metà del numero stesso ( es. 16 classi, 128 (= 16 x 8) scatole di gessi, 8 classi, 32 (= 8 x 4) scatole di gessi, …)

- Confondere doppio e metà (n∙10 + n∙2)

Indicazioni didattiche

Dall’analisi a posteriori degli elaborati emergono alcuni ostacoli legati alla lettura del testo ma anche al concetto di scrittura posizionale (in base 10) dei numeri e alla giusta interpretazione quando si parla dei concetti di doppio e metà. Il problema inizialmente era stato pensato in una unica versione ed aveva l’obiettivo di far emergere eventuali criticità legate al nostro sistema posizionale decimale di scrittura dei numeri. In particolare si voleva indagare sulla consapevolezza di contare le decine (sarebbe stata la stessa cosa con le centinaia o migliaia ma sarebbe stato necessario lavorare con numeri molto più grandi, introducendo una difficoltà in più non interessante in vista dello scopo prefissato). Era stato pensato volutamente un testo provocatorio, ad una lettura superficiale piuttosto disorientante a causa del continuo intreccio tra numero di scatole e numero di classi, ma una lettura attenta, unitamente al possesso del concetto di posizionalità, avrebbe portato alla giusta comprensione.

Da questo punto di vista il problema ha centrato l’obiettivo! In classe bisogna lavorare molto sulla distinzione fra cifra e numero e sulla struttura dei numeri, con particolare attenzione al conteggio dei raggruppamenti (in base 10) che si possono individuare a partire dalla posizione delle cifre.

E’ vero che 168 è un centinaio, 6 decine e 8 unità e quindi la “cifra” delle decine è 6 ma se la domanda è quante sono le decine in 168” la risposta è 16 e non 6 (le cifre sono da 1 a 9 e la posizione nella scrittura è essenziale, ogni gruppo di 10 è una unità in più al livello successivo).

Dato un numero, saper contare i raggruppamenti di ciascun tipo aiuta anche per stabilire l’ordine di grandezza, per evitare errori di stima e per decidere sull’approssimazione. Ad esempio se si vuole individuare il numero 168 sapendo solo che il numero naturale cercato ha:

- una centinaia, si hanno 100 possibili numeri (100-199)

- 16 decine, si hanno 10 possibili numeri (160-169)

- 169 unità, si ha la certezza.

Ci sembra opportuno:

- lavorare sui raggruppamenti che torneranno senz’altro molto utili anche per le divisioni con resto (168 se si raggruppa per 10 si ottengono 16 raggruppamenti e un resto di 8 quindi 16,8 decine cioè 16 decine intere ed una in formazione non ultimata) e daranno un senso anche ai numeri con la virgola;

- riflettere sulla presenza del vincolo “numero classi minore di 20”. L’assenza di questo vincolo avrebbe portato ad infinite soluzioni: tutti i numeri aventi un numero pari di decine a cui aggiungere la metà di questo numero (es. 280+14= 294, 28 classi 280 scatole di gessi a cui aggiungere 14 (=28:2) per un totale di 294 scatole di gessi ma anche 100 classi per un totale di 1000 scatole di gessi a cui aggiungere 50 scatole per un totale di 1050 scatole e così via).

- indirizzare e sviluppare l’abitudine alla ricerca di regolarità che risulterà strumento utile sia per la stima di quantità che per la percezione, il riconoscimento e l’interpretazione di eventi e fenomeni da studiare .

Per andare più lontano

Proporre nelle classi uno o più momenti di discussione a partire dal problema (risolto correttamente oppure no), modificando, ad esempio, il vincolo minore di 20 oppure introducendo altre clausole, ma sempre con l’obiettivo di migliorare la competenza degli allievi nel riconoscimento immediato e consapevole della struttura di un numero in base decimale.

Nella fase successiva, sulla base di quanto emerso dagli approfondimenti, sarà possibile inoltre proporre nelle categorie 7 e 8 la risoluzione di Scatola di gessi (II) affinché gli studenti si approprino con sicurezza del concetto di valore posizionale, da cui derivano la distinzione cifra/numero e il conteggio dei “raggruppamenti” e, nello stesso tempo, per consentire all’insegnante di verificare se tale concetto sia stato completamente interiorizzato.

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