Boîtes de craies (II)

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Rallye: 26.II.16 ; catégories: 9, 10 ; domaines: OPN, NU
Familles:

• LO - Effectuer des déductions
• VP - Gérer la valeur positionnelle d'un code

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Résumé

Chercher un nombre n tel que divisé par le nombre de ses dizaines, le reste de la division soit égal à la moitié du diviseur.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- S’approprier la situation. Comprendre qu'il est question des dizaines d'un nombre et que celles-ci sont déterminées de manière unique. Comprendre quels sont les deux moments de la distribution aux x classes des n boîtes de craies achetées et que l’on a attribué à chaque classe le même nombre m de boîtes la première fois. En déduire que l’on a d’abord distribué mx boîtes de craies.

- Comprendre que distribuer n boîtes de craies entre x classes revient à diviser n par x et obtenir un reste non nul puisqu’il reste des boîtes après la première distribution (division euclidienne).

- Considérant ce reste et, en tenant compte du renseignement que si l’on distribue à chaque classe une demi boîte de craies, ils ne reste plus de craies, en déduire que le reste de la division de n par x est égal exactement à la moitié de x, d’où n = mx + x/2.

- En déduire que le nombre de classes x est un nombre pair (car c'est le double d'un autre nombre), qui varie de 2 à 18 parce que x est le nombre des dizaines de n et que diviser un nombre par ses dizaines donne un reste toujours plus petit ou égal à 9. Ainsi x ne peut pas être supérieurs à18.

- Remarquer que le nombre x de classes est égal au nombre de dizaines du nombre n de boîtes de craie achetées. En déduire que chaque classe aura reçu au moins 10 boîtes de craies après la première distribution (m ≥ 10).

- Remarquer que le nombre x ne peut être 0 car l’école n’aurait pas de classes !

- Procéder par essais organisés en donnant successivement au nombre x de classes les valeurs : 2, 4, ... , 18, puis multiplier chaque valeur de x par un nombre m supérieur ou égal à 10 et ajouter la moitié de x. Ne conserver que les nombres dont les dizaines sont égales au nombre x. Obtenir ainsi tous les nombres n possibles que l’on peut présenter dans un tableau comme celui-ci :

On peut observer que pour tous les nombres n, dont le nombre donné par le chiffre des unités est égal à la moitié du nombre des dizaines de n, cela va bien, mais ce ne sont pas les seuls. En effet on obtient ainsi seulement les nombres n de boîtes pour lesquels on attribue à chaque classe 10 boîtes et demi. Il faut aussi donner les nombres n qui attribuent à chaque classe plus de 10,5 boîtes : 23, 46, 69 (11,5 boîtes), 25 (12,5 boîtes), 27 (13,5 boîtes), 29 (14,5 boîtes). On ne peut pas aller au-delà de ce nombre de boîtes attribué à chaque classe, car les conditions du problème ne sont plus respectées.

Notions mathématiques

nombre naturel, numération, dizaine, unité, chiffre, double, moitié ==== Points attribués ====

Résultats

26.II.16

Points attribués, sur 394 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (21; 23; 25; 27; 29; 42; 46; 63; 69; 84; 105; 126; 147; 168; 189) qui montre clairement le procédé suivi et souligne l’exhaustivité (ou l’impossibilité d’autres solutions).
• 3 points: Réponse correcte avec un procédé peu clair ou qui ne souligne pas l’exhaustivité.
  ou donner seulement de 10 à 14 nombres corrects avec raisonnement clair ou essais apparents et sans réponse erronée.
• 2 points: De 10 à 14 nombres corrects avec raisonnement ou essais apparents et au plus quatre réponses erronées,
  ou donner de 5 à 9 nombres corrects, avec raisonnement ou essais apparents et sans réponse erronée.
• 1 point: Début de recherche cohérente : donner de 2 à 4 nombres corrects.
• 0 point: Incompréhension du problème