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Banque de problèmes du RMTnu33-fr |
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Chercher un nombre n tel que divisé par le nombre de ses dizaines, le reste de la division soit égal à la moitié du diviseur.
Analyse a priori:
- S’approprier la situation. Comprendre qu'il est question des dizaines d'un nombre et que celles-ci sont déterminées de manière unique. Comprendre quels sont les deux moments de la distribution aux x classes des n boîtes de craies achetées et que l’on a attribué à chaque classe le même nombre m de boîtes la première fois. En déduire que l’on a d’abord distribué mx boîtes de craies.
- Comprendre que distribuer n boîtes de craies entre x classes revient à diviser n par x et obtenir un reste non nul puisqu’il reste des boîtes après la première distribution (division euclidienne).
- Considérant ce reste et, en tenant compte du renseignement que si l’on distribue à chaque classe une demi boîte de craies, ils ne reste plus de craies, en déduire que le reste de la division de n par x est égal exactement à la moitié de x, d’où n = mx + x/2.
- En déduire que le nombre de classes x est un nombre pair (car c'est le double d'un autre nombre), qui varie de 2 à 18 parce que x est le nombre des dizaines de n et que diviser un nombre par ses dizaines donne un reste toujours plus petit ou égal à 9. Ainsi x ne peut pas être supérieurs à18.
- Remarquer que le nombre x de classes est égal au nombre de dizaines du nombre n de boîtes de craie achetées. En déduire que chaque classe aura reçu au moins 10 boîtes de craies après la première distribution (m ≥ 10).
- Remarquer que le nombre x ne peut être 0 car l’école n’aurait pas de classes !
- Procéder par essais organisés en donnant successivement au nombre x de classes les valeurs : 2, 4, ... , 18, puis multiplier chaque valeur de x par un nombre m supérieur ou égal à 10 et ajouter la moitié de x. Ne conserver que les nombres dont les dizaines sont égales au nombre x. Obtenir ainsi tous les nombres n possibles que l’on peut présenter dans un tableau comme celui-ci :
On peut observer que pour tous les nombres n, dont le nombre donné par le chiffre des unités est égal à la moitié du nombre des dizaines de n, cela va bien, mais ce ne sont pas les seuls. En effet on obtient ainsi seulement les nombres n de boîtes pour lesquels on attribue à chaque classe 10 boîtes et demi. Il faut aussi donner les nombres n qui attribuent à chaque classe plus de 10,5 boîtes : 23, 46, 69 (11,5 boîtes), 25 (12,5 boîtes), 27 (13,5 boîtes), 29 (14,5 boîtes). On ne peut pas aller au-delà de ce nombre de boîtes attribué à chaque classe, car les conditions du problème ne sont plus respectées.
nombre naturel, numération, dizaine, unité, chiffre, double, moitié ==== Points attribués ====
Points attribués, sur 394 classes de 8 sections:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 9 | 128 (63%) | 35 (17%) | 31 (15%) | 7 (3%) | 1 (0%) | 202 | 0.6 |
Cat 10 | 115 (60%) | 43 (22%) | 25 (13%) | 4 (2%) | 5 (3%) | 192 | 0.65 |
Total | 243 (62%) | 78 (20%) | 56 (14%) | 11 (3%) | 6 (2%) | 394 | 0.63 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
(c) ARMT, 2018-2024