Banca di problemi del RMT
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Cercare un numero n tale che, se diviso per il numero totale delle sue decine, il resto della divisione corrisponda alla metà del divisore.
Analisi a priori
- Appropriarsi della situazione. Capire che si parla di decine di un numero e che queste sono determinate in modo univoco. Comprendere quali sono i due momenti della distribuzione delle n scatole di gessi alle x classi e che si è attribuito ad ogni classe lo stesso numero m di scatole la prima volta. Dedurre che sono state distribuite mx scatole di gessi.
- Capire che distribuire le n scatole di gessi fra le x classi equivale a dividere n per x ed ottenere un resto non nullo poiché rimangono ancora delle scatole dopo la prima distribuzione (divisione euclidea).
- Considerare l’entità di questo resto e, tenendo conto dell’informazione che se viene data ancora ad ogni classe mezza scatola di gessi non restano più gessi, dedurre che il resto della divisione è esattamente uguale alla metà di x e quindi n =mx+x/2.
- Dedurre che il numero delle classi x è un numero pari (è il doppio di un altro numero) che varia da 2 a 18 perché x è il numero delle decine di n e dividendo un numero per le sue decine il resto è sempre minore o uguale a 9 e quindi x non può essere maggiore di 18.
- Notare che il numero x di classi è uguale al numero di decine del numero n di scatole di gesso acquistato. Dedurre ne che ogni classe avrà ricevuto almeno 10 scatole di gessi dopo la prima distribuzione (m ≥ 10).
- Notare che il numero x non può essere 0 perché la scuola non avrebbe classi!
- Procedere per tentativi organizzati dando al numero x di classi i valori successivamente: 2, 4... , 18, poi moltiplicare ogni valore di x per un numero m superiore o uguale a 10 ed aggiungere la metà di x. Conservare solamente i numeri di cui le decine sono uguali al numero x. Ottenere così tutti i numeri n possibili che si può presentare in un quadro come questo:
Si può osservare che tutti i numeri n che hanno il numero espresso dalla cifra delle unità uguale alla metà del numero delle decine di n stesso, vanno bene, ma non solo i soli. Infatti così si individuano solo i numeri n di scatole per i quali si associano ad ogni classe 10 scatole e mezzo. Bisogna anche valutare quei numeri n che associano ad ogni classe più di 10,5 scatole: 23, 46, 69 (11,5 scatole), 25 (12,5 scatole), 27 (13,5 scatole), 29 (14,5 scatole); oltre questo numero di scatole attribuite ad ogni classe non si può andare altrimenti non si rispettano più le condizioni del problema.
decine, unità, metà, cifra, pari, dispari, regolarità, valore posizionale, meno di, numeri naturali, numerazione, divisione con resto
Punti attribuiti, su 394 classi di 8 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 128 (63%) | 35 (17%) | 31 (15%) | 7 (3%) | 1 (0%) | 202 | 0.6 |
| Cat 10 | 115 (60%) | 43 (22%) | 25 (13%) | 4 (2%) | 5 (3%) | 192 | 0.65 |
| Totale | 243 (62%) | 78 (20%) | 56 (14%) | 11 (3%) | 6 (2%) | 394 | 0.63 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:
Obiettivo nella stesura del problema è stato quello di stimolare in generale gli allievi a non fermarsi, nella scrittura di un numero, all’individuazione delle cifre che rappresentano le unità, le decine, le centinaia, … ma saper contare quante unità, quante decine, quante centinaia, … e nel particolare si doveva capire che la situazione problematica suggerita dal testo, “matematizzata”, avrebbe portato ad una divisione con resto che doveva essere eseguita con la consapevolezza che se si divide un numero qualunque per il numero delle sue decine il resto della divisione sono le unità e quindi tale resto non può essere maggiore di 9.
Il problema è andato decisamente male (62% di punteggio 0 e 2% punteggio 4) anche se i contenuti matematici a questi livelli di categorie dovevano essere acquisiti.
Le procedure utilizzate sono quelle indicate nell’analisi a priori ma sono stati commessi molti errori che possiamo così riassumere:
- sbagliata interpretazione, in termini matematici, della frase Il numero delle scatole ha tante decine quante sono le classi della scuola. Per esempio, risposta 10 classi, 15 scatole di gessi: viene data una scatola ad ogni classe, ne avanzano 5 che sono esattamente 10 mezze scatole da ridistribuire alle 10 classi. Dov’è l’errore interpretativo? Nasconde un errore concettuale: il numero delle decine in 15 è 1 e non 10, quindi le classi dovrebbero essere 1 e non 10, non bisogna ritradurre 1 decina in 10 (unità);
- considerano solo numeri a due cifre: confusione tra la cifra delle decine e il conteggio delle decine nel numero (21, 42, 63, 84); più gruppi si fermano a numeri di due cifre, pur trovando anche le soluzioni meno intuitive 23, 25, 27, 29, 46, 69. Probabilmente perché il numero delle decine sarebbe stato superiore a 9 decine, dimostrando così ancora di confondere cifra e numero. (Es. Non possiamo andare oltre le 9 decine; avendo 10 classi questo ragionamento non sarebbe realizzabile poiché il numero delle decine andrebbe a zero e quindi non sarebbe possibile);
- mancata traduzione della situazione reale in termini matematici che ha impedito sia di ricercare tutte le soluzioni che di evidenziare l’esaustività di quelle trovate;
- danno per scontato che ad una prima distribuzione di scatole ne vengano consegnate 10 (forse perché si parla di decine?) e quindi perdono le soluzioni con prima distribuzione di 11, 12, 13, 14 scatole e la riflessione che non è possibile una prima distribuzione con 15 scatole altrimenti non viene più rispettata la condizione del problema Il numero delle scatole acquistate ha tante decine quante sono le classi della scuola. (Es. Abbiamo pensato che il numero delle decine doveva essere il doppio del numero delle unità trovando 21, 42, 63, 84, 105, 147, 168, 189. Quindi le scatole sono i numeri sopraindicati e la cifra iniziale o le 2 cifre iniziali sono il numero di classi);
- in molti, unendo due tipologie di errore già descritte, trovano la formula (come dicono loro) n = 10x+x/2 con x numero delle classi, considerano x pari ma 0 - Far lavorare la classe con Scatole di Gessi (I) e confrontare sia gli enunciati che le soluzioni per riflettere riguardo la presenza o meno di vincoli che possono essere espliciti o deducibili da altre condizioni. In particolare le informazioni:
• si consegnano ad ogni classe lo stesso numero di scatole,
• il numero totale delle scatole ha tante decine quante sono le classi della scuola,
• dopo aver consegnato a ciascuna classe lo stesso numero di scatole, ne restano alcune. Ci si accorge che se si consegnasse ancora mezza scatola di gessi ad ogni classe, non avanzerebbe alcun gesso
rendono inutile dire che la scuola ha meno di 20 classi come succedeva nella versione I, ma anche se questo resta comunque vero ma deducibile dagli altri dati.
- Sviluppare la capacità di analizzare situazioni problematiche reali (o appositamente costruite), individuarne gli elementi costitutivi e tradurle in termini matematici, riconoscendo strutture e modelli ricorrenti e/o analoghi oppure esaminando la variabilità in relazione alla modifica di vincoli. Ad esempio, il quinto punto dell’analisi a priori (Notare che il numero x di classi è uguale al numero di decine del numero n di scatole di gesso acquistato. Dedurne che ogni classe avrà ricevuto almeno 10 scatole di gessi dopo la prima distribuzione (m ≥ 10) non è così intuitivo e merita una dimostrazione del tipo:
- n = mx + x/2
- se n ha 2 decine allora 21 ≤ n ≤ 29 e quindi m ≥ 10 e precisamente 10 ≤ m ≤ 14 (con 15 si salterebbe di decina, n avrebbe 3 decine) e si hanno 5 possibili soluzioni per n: 21, 23, 25, 27,29
- se n ha 4 decine allora 41≤n≤49 ed analogamente 10≤m≤11 e si hanno 2 possibili soluzioni per n: 41, 46
e così via.
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