Banque de problèmes du RMT
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Répartir la suite des nombres naturels de 1 à 162 en trois parties successives distinctes, sachant que la première et la dernière contiennent 148 nombres et que la dernière contient le tiers des nombres de la première ; puis indiquer les nombres qui composent la deuxième partie.
Analyse a priori:
- Comprendre la répartition des numéros : la revue Cars en est maintenant à son numéro 162, Louis et Henri en ont ensemble 148, Louis a tous les premiers, Henri tous les derniers et Henri en a le tiers de Louis.
- D’après ces données, se représenter mentalement ou par un dessin, la suite des nombres de 1 à 162 et ses différentes parties : les numéros de Louis qui sont les premiers, ceux qui manquent qui sont à déterminer, les numéros d’Henri qui sont les derniers et qui représentent le tiers des premiers.
- Passer dans le domaine numérique et des relations : la troisième partie qui vaut le 1/3 de la première et la seconde partie avec 14 numéros (162 – 148).
- Comprendre que la première et la troisième partie, (148) sont proportionnelles à 3 et 1 (ou 3/3 et 1/3), que la réunion de ces deux parties correspond à 4 dans la proportionnalité (ou 4/3) et que par conséquent la répartition est 37 (148 : 4) pour la troisième et 111 (37 × 3) pour la première.
- Identifier d’une manière ou d’une autre (il y en a beaucoup) les 14 numéros de la deuxième partie à partir de 112 (111 + 1) : de 112 à 125.
Ou
- Une variante consiste à considérer que les numéros de Luigi représentent les 3/4 (ou les numéros d’Henri le 1/4) des 148 numéros qu’ils possèdent ensemble.
Ou
- Écrire les numéros de Louis en commençant par 1 et procéder trois par trois. Associer à chaque fois aux trois numéros de Louis un numéro pour Henri en partant de 162. Par exemple : 1-2-3…. 162/ 4-5-6…161/ 7-8-9…160/ 10-11-12 … 159 et continuer ainsi jusqu’à un total de 148 numéros. Déterminer ainsi les numéros manquants.
Ou
- Procéder par essais et ajustements, par exemple en partant d’un nombre hypothétique de numéros achetés par Louis, calculer le nombre de numéros achetés par Henri, calculer la somme, et, si elle est différente de 148, faire un autre essai et ainsi de suite.
nombre naturel, suite de nombres, triple, tiers, répartition proportionnelle
Points attribués sur 3567 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 283 (33%) | 412 (49%) | 51 (6%) | 50 (6%) | 50 (6%) | 846 | 1.02 |
| Cat 6 | 572 (39%) | 545 (37%) | 118 (8%) | 129 (9%) | 104 (7%) | 1468 | 1.08 |
| Cat 7 | 344 (27%) | 369 (29%) | 201 (16%) | 129 (10%) | 210 (17%) | 1253 | 1.59 |
| Total | 1199 (34%) | 1326 (37%) | 370 (10%) | 308 (9%) | 364 (10%) | 3567 | 1.25 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Les procédures utilisées sont essentiellement celles indiquées dans l'analyse a priori, mais on constate une certaine "incompréhension du problème": 70% des groupes n'ont pas réparti correctement les numéros des journaux entre les deux amis et ceux qui manquent. C'est une confirmation supplémentaire des résultats des problèmes des familles PR SP SP/RIP: une répartition proportionnelle n'est pas encore accessible pour les élèves des catégories 5 et 6.
Parmi les erreurs, on relève :
- une incompréhension de l'énoncé, notamment pour la catégorie 5, probablement en raison de la complexité de l'articulation des informations ainsi que de la difficulté de la répartition proportionnelle;
- une perception erronée de la relation entre les numéros de Louis et Henri et le total des numéros: il était entendu que le total des numéros achetés, par ailleurs considérés comme 162 et non 148, pouvait être représenté comme la somme de trois parties égales au lieu de quatre ( 162 : 3 = 54 numéros d'Henri.) Ce choix peut avoir été déterminé par l'observation que 148 n'est pas un multiple de 3 alors que la divisibilité par 3 du nombre 162 peut être trompeuse. Pour faciliter la compréhension, en modifiant la valeur de la variable numérique, on pourrait choisir, comme nombre total des numéros publiés, un nombre qui n'est pas divisible par trois, par exemple 163. De cette façon, les élèves seraient amenés à une lecture plus attentive de l'énoncé et incités à une plus grande réflexion sur les données du problème;
- une confusion entre les numéros 111 et 112 et/ou entre les numéros 126 et 127, relevée également dans les copies attestent d'une bonne compréhension de la répartition.
A priori, il était prévu comme une erreur possible celle d'un échange entre Henri et Louis, ou l'attribution à Henri du triple des numéros de Louis, de cette façon Louis aurait les numéros de 1 à 37 et Henri de 52 à 162. Mais cette erreur n'a été trouvée dans aucune des copies examinées.
Dans certaines copies où il est évident que la répartition n'a pas été un obstacle, on trouve comme réponse 37 et 111 ou les numéros d'Henri et de Louis sont considérés comme des quantités, ce qui révèle une lecture superficielle de la question.
Il est évident que ce problème, résolu en classe par groupes, va susciter une grande diversité de réponses qui pourront être comparées lors d’une discussion collective qui devrait aboutir à la solution en deux étapes :
- l’appropriation correcte de la situation où l’on constate que Louis a un certain nombre d’exemplaires de 1 à un numéro encore inconnu, que Henri en a un autre nombre d’exemplaires, d’un numéro inconnu au numéro 162 et que, ensemble, ils possèdent 148 exemplaires. (il en manque 14 pour arriver à la collection complète).
- la répartition des 148 exemplaires en deux parts, sachant que la seconde est le tiers de la première – ou que la première est le triple de la seconde. Il s’agit ici d’un problème exemplaire pour aborder le thème de la répartition proportionnelle : comprendre que la part du premier correspond à 3, celle du second à 1 et que le total, 178, correspond à 4 (1 + 3). On peut le faire sans aucun formalisme ni terminologie spécifique de la « proportionnalité ».
Du point de vue didactique, l'enseignant a ainsi un problème valable de répartition proportionnelle, mais aussi un moyen de réaliser dans laquelle des deux étapes les élèves ont échoué afin de pouvoir intervenir de manière ciblée.
Pour aborder le concept de proportionnalité, tout en considérant que son acquisition n'a lieu qu'à partir du 1er cycle du secondaire, il est important de commencer à l'école primaire avec des expériences aussi ludiques: activités d'échange d'objets couramment utilisés (par exemple exemple n crayons pour m autocollants) ou répartition de matériel ou recettes culinaires.
Il est également essentiel d'habituer les élèves à la discussion et à l'argumentation non seulement pour parvenir à une verbalisation écrite suffisamment claire et correcte, mais aussi parce qu'à travers la "négociation" des propositions, des "significations" se construisent et une ouverture et une prise de conscience se développent.
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