Banca di problemi del RMT
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Determinare tutti i numeri interi di tre cifre $abc$, con $0 < a < b < c$, tali che la somma dei numeri formati dalle sei permutazioni delle loro tre cifre sia $4218$.
Analisi a priori:
- Ricordare la scrittura polinomiale di un numero di tre cifre: la somma del prodotto della prima cifra (considerata qui come numero) per $100$, della seconda per $10$ e della terza per $1$, cioè rendersi conto che bisogna scomporre i numeri in centinaia, decine e unità, per organizzare i primi tentativi.
- Verificare che ci sono ben sei numeri diversi che si scrivono con le tre cifre scelte.
- Verificare l’esempio proposto, poi effettuare altre prove con altre cifre per trovare delle somme di sei permutazioni che diano $4218$.
Oppure
- Rendersi conto progressivamente che ognuna delle tre cifre appaia due volte nella posizione delle centinaia, due volte nella posizione delle decine e due volte nella posizione delle unità nella somma dei sei numeri ottenuti per permutazioni.
- Cominciare, per esempio, col trovare delle informazioni sulle tre cifre a partire da $8$, la cifra delle unità di $4218$, che deve essere il doppio della somma delle tre cifre. Questa somma non può essere $4$ poiché se fossero state scelte le più piccole cifre $1$, $2$ e $3$, la loro somma $6$ è troppo grande. Dunque questo doppio deve essere $18$ o $28$ o $38$ o $48$ e le somme $9$, $14$, $19$ o $24$. Procedendo nell’ordine bastano solo poche prove.
- Procedendo nell’ordine saranno sufficienti solo alcuni tentativi:
Le tre cifre diverse, la cui somma è $19$, possono essere: $2$, $8$, $9$ o $3$, $7$ e $9$ o $4$, $6$ e $9$ o $4$, $7$ e $8$ o $5$, $6$ e $8$. Ci sono solo cinque soluzioni.
Oppure
- riconoscere il caso generale scrivendo i numeri di tre cifre $c$, $d$, $u$ sotto forma polinomiale; $\overline{cdu} = 100 c+10 d+ u$.
La somma dei sei numeri è allora $S = (2c + 2d + 2u) \times 100 + (2c + 2d + 2u) \times 10 + (2c + 2d + 2u) =$ $2 (c + d + u) \times (100 + 10 + 1) = (c + d + u) \times 222$. Poiché $S = 4218$, ne segue che $c + d + u = 4 218 \div 222$, dunque che $c + d + u = 19$.
- Trovare infine i $3$ numeri a una cifra tali che $c + d + u = 19$ et $0 < c < d < u$. Ci sono cinque soluzioni: $289$, $379$, $469$, $478$ e $568$.
numero naturale, cifra, unita, decina, centinaia, numerazione, somma, permutazione, deduzione, negazione
Punti attribuiti su 287 classi di 9 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 15 (10%) | 113 (78%) | 8 (6%) | 6 (4%) | 3 (2%) | 145 | 1.1 |
| Cat 10 | 15 (11%) | 106 (75%) | 8 (6%) | 6 (4%) | 7 (5%) | 142 | 1.18 |
| Totale | 30 (10%) | 219 (76%) | 16 (6%) | 12 (4%) | 10 (3%) | 287 | 1.14 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
(c) ARMT, 2021-2024