Il numero di Sofia

Identificazione

Rally: 20.II.08 ; categorie: 5, 6, 7, 8 ; ambiti: NU, OPN
Famiglie:

• DCD - Scomporre un numero decimale
• DIV - Ricercare dei multipli e/o dei divisori
• VP - Gestire il valore posizionale delle cifre nella scrittura di un numero

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Sunto

Trovare i numeri di tre cifre per ciascuno dei quali 1/5 è formato dalle due ultime cifre.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Comprendere la situazione: se si cancella la cifra delle centinaia del numero di tre cifre di Sofia, si ottiene un numero di due cifre 5 volte più piccolo.

- Rendersi conto che :

• i due numeri hanno necessariamente la stessa cifra delle decine e la stessa cifra delle unità;
• le cifre delle unità del numero cercato devono essere 0 o 5 (poiché il numero di Sofia è divisibile per 5);
• la cifra delle centinaia del numero di Sofia deve essere inferiore a 5 (non può essere che 1, 2, 3 o 4) perché il quoziente di tale numero nella divisione per 5 sia inferiore a 100 e si scriva quindi con 2 cifre.

- Considerare i multipli di 5 a due cifre: 10, 15, 20, . . . moltiplicare ciascuno di essi per 5 e trovare che solo 25 × 5 = 125, 50 × 5 = 250, 75 × 5 = 375 sono numeri che hanno le caratteristiche di quello scritto da Sofia.

Oppure, procedere per tentativi verificando ogni volta che il numero trovato soddisfi a tutte le condizioni. Per questa strada non si è sicuri di trovare tutte le soluzioni.

Oppure, procedere per tentativi mirati a partire dalla seguente equazione: 100c + 10d + u = 5(10d + u) con c, d, u numeri naturali da 0 a 9 e c ≠0.

- Concludere che Sofia può aver scritto uno dei seguenti tre numeri: 125, 250, 375.

Nozioni matematiche

aritmetica, rappresentazione decimale, divisione, divisibilità, multipli, sistema posizionale, approccio algebrico

Risultati

20.II.08

Punteggi attribuiti su 2665 classi di 20 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta e completa con le 3 possibilità (125, 250, 375) e spiegazione chiara
• 3 punti: Indicate 2 possibilità corrette con spiegazione chiara
  oppure le 3 possibilità corrette con spiegazione incompleta
• 2 punti: Una possibilità corretta con spiegazione chiara
  oppure 2 possibilità corrette con spiegazione incompleta
  oppure le 3 possibilità corrette senza spiegazione
• 1 punto: Una possibilità corretta con spiegazione incompleta
  oppure tentativi coerenti con l’enunciato ma non terminati
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

La procedura più utilizzata è stata la ricerca, per tentativi, sui numeri di tre cifre divisibili per 5. La strategia, prevista nell’analisi a priori, di considerare i multipli di 5 a due cifre: 10, 15, 20, . . . moltiplicare ciascuno di essi per 5 e trovare che solo 25 × 5 = 125, 50 × 5 = 250, 75 × 5 = 375 sono numeri che hanno le caratteristiche di quello scritto da Sofia, è stata poco, utilizzata ma spesso, a tutti i livelli di categoria, è stato notato a posteriori che i numeri di Sofia sono multipli di 25 (o di 125). Nessuno ha saputo giustificare una tale regolarità.

Alcuni hanno escluso i numeri di tre cifre che terminano con ”00”, perché togliendo le centinaia rimane ”00”.

Alcuni, partendo da 100 (primo numero di tre cifre utile) lo hanno diviso per quattro e gli hanno aggiunto il quoziente (25) hanno proseguito analogamente con 200 e 300 (i quozienti sono rispettivamente 50 e 75).

Il ricorso alla scrittura polinomiale ed il conseguente utilizzo dell’algebra, previsti nell’analisi a priori non sono stati rilevati in nessuno degli elaborati esaminati.

La media dei punteggi, bassa in ogni categoria, è imputabile ad errori ed ostacoli di tipo trasversale:

- lettura superficiale del testo con conseguente incomprensione della situazione e dei vincoli;

- il vincolo in corsivo ha catturato l’attenzione a tal punto che si sono limitati ad elencare tutti i numeri, di tre cifre, divisibili per 5 dimenticandosi le altre clausole;

- confusione fra diviso e divisibile: i due termini vengono considerati sinonimi;

- alcuni di fronte alla frase “adesso il tuo numero è stato diviso per 5” hanno capito di dover di dividere per 5 il numero ottenuto dopo l’intervento di Leo (è una difficoltà intrinseca al riconoscimento della sequenza temporale). Con questa interpretazione le soluzioni sono molte, ma i ragazzi si limitano a due o tre, solo in un caso abbiamo 171 soluzioni con un conteggio che procede per centinaia;

- organizzazione di una ricerca esaustiva;

- difficoltà a spiegare il ragionamento seguito, anche se qualche volta mostrano di aver intuito strategie che permettono di limitare il numero di tentativi;

- conoscenza approssimativa della struttura posizionale che non ha permesso, nelle categorie più alte, di mettere “in formula” la situazione.

Indicazioni didattiche

Il problema può essere utilizzato per proporre o approfondire:

• criteri di divisibilità

• regolarità numeriche

• ordine di grandezza (stabilire il range di numeri in cui muoversi)

• attività di cambiamento di variabili didattiche

• struttura posizionale: presentare la composizione dei numeri in tutti i suoi aspetti (es. 375 è 300+75 ovvero 3h 75u, oppure 3h 7da 5u, oppure 37da 5 u o anche 375u) per una rappresentazione più reale e non standardizzata.

E’ anche un mezzo efficace per stimolare l’interesse degli allievi di categoria più alte verso la scoperta di regolarità che li motiva all’utilizzo di un’impostazione pre-algebrica o algebrica (cfr. la rubrica Per andare più lontano)

Per andare più lontano

Progettare, con gli allievi dalla categoria 8 in poi, attività in classe cambiando le variabili didattiche:

• modificare il divisore

• nei numeri a tre cifre vedere cosa succede se si cancellano la cifra delle decine o quella delle unità, ha ancora senso mantenere il testo “Guarda, adesso il tuo numero è stato diviso per 5” ?

In ogni caso controllare il numero delle soluzioni possibili ed avviare una ricerca collettiva. Attività di questo tipo, secondo noi, stimolano i ragazzi

- a porsi domande,

- ad organizzare una ricerca esaustiva,

- ad utilizzare lo “strumento matematico “ più indicato ed a scoprirne la sua “potenza”,

- a cercare “una dimostrazione” per cose che si scoprono casualmente ma della cui validità non si è “sicuri”

- ad astrarre,

- …

ma soprattutto avviano al “gusto della scoperta” con la conseguente soddisfazione che si prova quando si riescono a dimostrare dei “piccoli” teoremi. Tutto questo porta anche ad un recupero di “affettività” verso la matematica.